Skoltech Центр перспективных исследований |

CFT, Скрининги etc

Кураторы:
,
,

Аннотация:
Важнейшим объектом при изучении двумерных CFT является алгебра Вирасоро — пространство состояний каждой конформной теории допускает описание в терминах неприводимых представлений старшего веса. Теорема Каца-Фейгина-Фукса дает явное описание всех таких представлений, результатом секции будет ее доказательство. По дороге мы обсудим вертексные операторы, из которых строятся поля, и конформные блоки (некоторые функции, из которых строятся корреляторы). Будет рассмотрена конструкция, позволяющая во многих случаях проводить явные вычисления, — представление алгебры Вирасоро и вертексных операторов в пространстве Фока (“бозонизация”). Также мы обсудим скрининги — специальные сплетающие операторы между представлениями алгебры Вирасоро. Они играют важную роль в предлагаемом доказательстве теоремы К-Ф-Ф и в некоторых случаях дают явные интегральные формулы для конформных блоков

Пререквизиты:
Линейная алгебра, Алгебры Ли и их представления (на уровне определений)

Вводный доклад
- Определение Vir как центрального расширения # [КРР] §1.3
- Напоминание: Модуль Верма, PBW # [КРР] §3.2, # [B19] раздел 2
- Лемма о разложении подмодуля # [КРР] Лемма 1.1.
- Форма Каца-Шаповалова, Сингулярные вектора # [КРР] §3.3, # [B19] раздел 2
- Примеры # [L] Lecture 5, p. 32-34, # [B19] Section 2
- Теорема Каца-Фейгина-Фукса (формулировка) # [L] Lecture 5, p. 32-34, # [B19] section 2
Бозонизация
- Алгебра Гейзенберга, Фоковский модуль, Нормальное упорядочение, форма Каца-Шаповалова, Характер Фоковского модуля # [КРР] §2.2
- Бозонизация при $c = 1$, поправка для общего $c$, сдвижка формы Каца-Шаповалова # [КРР] §2.3, # [Б17] – раздел 1.1
- Условие наличия сингулярных векторов как условие на ядро бозонизации. Пример. # [КРР] §2.2
- Экспоненты, упорядочивание # [L] Lecture 7, p.45
Вертексные операторы и конформные блоки
- Эквивалентность коммутационных соотношений OPE # [МБГ] 4.6, 4.7, привести примеры для Vir и Heis, # [FBZ] §3.3.1
- Вертексные операторы # [B19] section 3.2, # [МБГ] задачи, листок 5, задача 6)
  - Как примарные поля алгебры Вирасоро
  - Как сплетающие операторы
- Экспоненты как бозонизация вертексного оператора (Проверить по определению)
- Конформные блоки, определение, Разложение кореллятора в CFT (формулировка) # [B19] section 3.3, # [GIL13] section 3.1
- Вычисление конформного блока при условии $\sum_{i}\alpha_i = NQ$. # [Б17] раздел 1.2
Скрининги и вычисление конформных блоков
- Скрининги как сплетающие операторы # [Б17] раздел 1.3
- Вычисление конформного блока при условии $\sum_{i}\alpha_i = Q + mb + nb^{-1}$. # [Б17] раздел 1.4
- Детерминантная формула для $c = 1$ конформного блока # [Б17] задача 2.1, # [MM] section 3
Доказательство Теоремы Каца через скрининги
- Комбинаторная часть доказательства # [КРР] §8.1, 8.2, 8.3)
- Сингулярные векторы из скринингов (примеры) # [Б17] разделы 2.2, 2.3, А.1.

Список литературы:

# [КРР] – Кац, Райна, Рожковская, Бомбейские Лекции о представлениях со старшим весом бесконечномерных алгебр Ли
# [Б17] – Михаил Берштейн, конспект лекций
# [B19] – Mikhail Bershtein, lectures
# [L] – Alexey Litvinov, lectures
# [FBZ] – E. Frenkel, D. Ben-Zvi, Vertex algebras and Algebraic curves
# [GIL13] – O. Gamayun, N. Iorgov, O. Lisovyy, article
# [MM] – A. Mironov, A. Morozov, article
# [МБГ] – А. Маршаков, М. Берштейн, П. Гавриленко, струны и конформная теория поля, лекции и задачи

Введение в тропическую геометрию

Куратор:

Анотация:
Любой алгебраической кривой на плоскости можно сопоставить многоугольник Ньютона: выпуклую оболочку показателей мономов задающего её полинома. Многие свойства кривой описываются при помощи этого многоугольника. Параллельно можно рисовать амёбы комплексных кривых, представляющие собой специальные проекции их на (вещественную) плоскость. Мы прочувствуем, как эти подходы дополняют друг друга

Пререквизиты:
гладкие многообразия и их когомологии, дифференциальные формы, двойственность Пуанкаре. Для темы 5 необходимо знать начала комплексного анализа, выпуклые функции, торические компактификации (в размерности 2), вероятно, потребуются пояснения от куратора

Плоские алгебраические кривые # [KLP §1.7-2.2, 3.2]
- Накрытия, Формула Римана-Гурвица, теорема Безу, рациональная кривая, род кривой степени n в проективной плоскости (разные доказательства)
Гладкие торические многообразия # [Kh §1, KKhE §2.1, §4]
- Гладкие торические многообразия, примеры, кольцо когомологий в размерности 2, смешанный объем в размерности 2
Кривые в двумерном торе # [KKhE §4, Kh §1]
- Кольцо условий, хорошая компактификация, многоугольник Ньютона и тропический веер кривой, число проколов, род
Амёба кривой # [V, GKZ §6.1, FPT §1,2,4]
- Определение амёбы, амеба прямой в плоскости, выпуклость компонент дополнения, целые точки и компоненты дополнения (амёба гиперплоскости)
Площадь амёбы: кривые Харнака # [V ,MR, Vhtml]
- Кривые Харнака, образующие гомологий и проколы, ограничение на площадь амёбы (обзорно) и точность оценки для кривых Харнака

Список литературы:

# [KKhE] – Б. Я. Казарновский, А. Г. Хованский, А. И. Эстеров “Многогранники Ньютона и тропическая геометрия”
# [KLP] – М. Э. Казарян, С. К. Ландо, В. В. Прасолов “Алгебраические кривые. По направлению к пространствам модулей”
# [Kh] – А.Г. Хованский “Многогранники Ньютона и торические многообразия”
# [FPT] – M. Forsberg, M. Passare, A. Tsikh, “Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas”
# [GKZ] – I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky “Discriminants, resultants, and multidimensional determinants”
# [MR] – G. Mikhalkin, H. Rullgard “Amoebas of maximal area”
# [V] – O. Viro “what is an amoeba?”
# [Vhtml] – страница Олега Виро www.pdmi.ras.ru/~olegviro/rus-educ-texts.html

Детерминантные формулы для тау-Функций уравнений Пенлеве

Кураторы:
,

Аннотация:
Уравнения Пенлеве тесно связаны с интегрируемыми системами и изомонодромными деформациями, а также встречаются в конформной теории поля, статистической физике и матричных моделях. В курсе будут изучены симметрии уравнений Пенлеве — преобразования Бэклунда. Эти преобразования описываются в терминах групп, порождённых отражениями относительно плоскостей, ортогональных образующим некоторых решёток. Мы рассмотрим уравнения, связанные с системами корней $A^{(1)}_{n}$. Для них мы получим явные формулы, связывающие решения, разница параметров которых лежит в некоторой решётке. Все определения, необходимые для понимания, будут даны в ходе изложения

Пререквизиты:
линейная алгебра, основы теории конечных групп

Пенлеве 4
- Симметричный и более привычный вид уравнений
- Пространство параметров и действие на нем преобразований Бэклунда
- Тау-функции, билинейные уравнения на тау-функции

# [0, гл. 2,3], #[1]

phi-факторы.
- Решетка для тау-функций для Пенлеве 4
- Полиномы Окамото
- Общий случай аффинной группы Вейля и phi-факторы в общем случае

# [0, гл. 4], # [1,2,4]

Тождество типа Якоби-Труди
- Линейные преобразования матриц
- Доказательство формулы типа Якоби-Труди для матричных преобразований
- Переход к аффинному случаю

# [0, гл. 7]

Формализм Лакса
- Уравнения Пенлеве как условие согласования линейных задач
- Пример для Пенлеве 4
- Преобразования Бэклунда на языке линейной задачи

# [0, гл. 8]

Связь с функциями Шура.
- Диаграммы Юнга и Диаграммы Майа в обычном и аффинном случаях
- Формула Якоби-Труди для полиномов Шура
- Специальные параметры, Полиномы Окамото как функции Шура

# [0, гл. 5]

Основная литература:
# [0] – PAINLEVÉ EQUATIONS THROUGH SYMMETRY By MASATOSHI NOUMI

Дополнительная литература:
# [1] – Symmetries in the fourth Painlev´e equation and Okamoto polynomials (arXiv:q-alg/9708018)
# [2] – Higher order Painlevé equations of type A^(1)_l (arXiv:math/9808003)
# [3] – Affine Weyl groups, discrete dynamical systems and Painleve equations (arXiv:math/9804132)
# [4] – The fourth Painlevé equation and associated special polynomials (10.1063/1.1603958)

Квантовая запутанность и CFT

Куратор:

Аннотация:
Запутанность – важное свойств квантовых систем. Если такую систему можно разделить на две части – возникает естественный вопрос о том, как одна часть запутана с другой. В частности, такой вопрос возникает и в контексте квантовой теории поля (QFT). Важной характеристикой запутанности является энтропия фон Неймана. Предлагается изучить основной подход к вычислению энтропии запутанности в QFT – репличный трюк. Среди всевозможных QFT выделены конформные теории поля (CFT). В двумерном случае конформная симметрия является бесконечномерной. Это позволяет вычислять многие характеристики теории точно. В частности, в двумерных CFT удаётся точно вычислить энтропию запутанности. Примечательно, что ответ определяется лишь одной характеристикой теории – центральным зарядом. Разобраться в этом вычислении – еще одна цель данной секции

Пререквизиты:
основы квантовой механики и квантовой теории поля, в особенности их формулировка в терминах функционального интеграла (кроме п.1). Предполагается, что нужные разделы CFT мы изучим по ходу дела (см. п.3). Однако для п.4 знание CFT (как минимум в рамках п.3) желательно

Запутанность в квантовых системах
- Описание состояния с помощью матрицы плотности. Понятие смешанного состояния. Разложение Шмидта для биразбиения системы. Редуцированная матрица плотности для подсистемы # [P Sec. 2, Hea Sec. 3]
- Энтропия фон Неймана как мера запутанности, её свойства. Вычисления разложения Шмидта и энтропии на примере двух спинов-1/2. Реньи энтропия и связь с энтропией фон Неймана # [P Sec.2, H Sec. 18, Hea Sec. 2 and 3]
- Понятия об area-law и volume-law. Энтропия в критической точке # [H Section 18]
Энтропия запутанности в QFT
- Представление термальной матрицы плотности и редуцированной матрицы плотности с помощью функционального интеграла # [H Sec. 4, CC Sec. 2]
- Репличный трюк для вычисления энтропии Реньи # [CC Sec. 2]
- Твист-поля (twist-fields) в 1+1d QFT # [CC Section 2] См. также # [H Sec. 19, Hea Sec. 4]
Введение в 2d CFT
- Локальные и глобальные конформные преобразования в 2d # [L Lec. 2, DF Sec. 5]
- Связь конформной инвариантности теории и бесследовости тензора энергии-импульса # [L Lec. 1, DF Sec. 4]
- Конформные тождества Уорда. Примарные поля. Преобразование тензора энергии-импульса под действием конформных отображений # [L Lec. 3, DF Sec. 5]
Вычисление энтропии в 2d CFT
- Энтропия интервала для бесконечного пространства и нулевой температуры.
  Вычисление среднего от тензора энергии-импульса на n-листной Римановой поверхности с помощью отображения на комплексную плоскость. Доказательство примарности твист-полей, вычисление их конформной размерности # [CC Sec 3, PA Sec 2]
- Обобщение результата на конечную температуру, конечный размер системы. Конформные преобразования, сводящие задачу к пункту (а) # [CC Sec 3, PA Sec 2]
- Энтропия запутанности некритической модели в пределе большой корреляционной длины (можно без строгих доказательств) # [CC Sec 5]

Список литературы

# [P] J. Preskill. Lecture Notes for Physics 229: Quantum Information and Computation.
# [H] T. Hartman. Lectures on Quantum Gravity and Black Holes.
# [Hea] M. Headrick. Lectures on Entanglement Entropy in Field Theory and Holography.
# [CC] P. Calabrese, J. Cardy. Entanglement Entropy and Conformal Field Theory.
# [L] A. Litvinov. CFT lecture notes.
# [DF] P. Di Francesco et al. Conformal Field Theory.
# [PA] D. Patramanis, G.C. Aso. Entanglement Entropy and CFT.

Пространства начальных данных уравнений Пенлеве

Кураторы:

Аннотация:
Дифференциальные и разностные уравнения Пенлеве имеют важное значение в современной математической физике. Одним из мощных подходов к изучению этих уравнений стало изучение т.н. пространств начальных данных. Сначала Окамото, а затем Сакаи применили к ним алгебро-геометрический подход, что позволило им классифицировать все дифференциальные и разностные уравнения Пенлеве. Эта классификация Сакаи параметризует уравнения Пенлеве через некоторые классы эквивалентности поверхностей $\mathbb{CP}^2$, раздутых в 9 точках. Мы последовательно изучим построение пространств начальных данных от случая простейших линейных дифференциальных уравнений и заканчивая q-разностными уравнениями Пенлеве

Пререквизиты:

Неопределенности начальных данных дифференциальных уравнений и их разрешения через раздутия (в ранних изданиях раздутие может называться сигма-процессом) # [0, раздел 2], # [2, гл.2, параграф 4]
- Алгебро-геометрическое определение раздутия, простейшие примеры разрешения неопределенностей
- Разрешение особенностей пространства начальных данных для уравнений Пенлеве: примеры Пенлеве IV и Пенлеве VI
Алгебро-геометрическая структура пространств начальных данных # [0, раздел 3], # [1, раздел 3]
- Решетки Пикара, исключительные дивизоры раздутия, аффинные группы Вейля симметрий пространств начальных данных
- Примеры для Пенлеве IV и Пенлеве VI
Разностные уравнения Пенлеве.
- Точечная конфигурация для $\mathrm{q{-}P(E_6^{(1)})}$ и $\mathrm{d{-}PI}$
Классификация Сакаи и уравнения Пенлеве из точечных конфигураций # [0, раздел 5], # [1, разделы 4, 5, 6]
- Общая точечная конфигурация и эллиптическое уравнение Пенлеве
- Вырождение к q- и d- Пенлеве. Дифференциальная динамика

Список литературы

# [0] (основная) 1509.08186 K. Kajiwara, M. Noumi, Y. Yamada, Geometric aspects of Painleve equations
# [1] (более математичное изложение) Hidetaka Sakai, Rational Surfaces Associated with Affine Root Systems and Geometry of the Painlevé Equations, Commun. Math. Phys. 220, 165 – 229 (2001)
# [2] И.Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, т.1

Сигма-модели

Куратор:

Аннотация
В секции предлагается изучить основные классические и квантовые свойства двумерных сигма-моделей. Это двумерные теории поля с таргет-пространством, диффеоморфным гладкому многообразию M, представляющие исключительный интерес для большого числа разделов математической физики, от теории твердого тела до теории струн. На примерах теории PCF, для которой M = G – группа Ли, и теории, где M = G/H – симметрическое однородное пространство, предлагается изучить следующие вопросы:

классическая интегрируемость
ренормгрупповые потоки
конформность на квантовом уровне
неабелева бозонизация

Пререквизиты:
некоторые главы дифференциальной геометрии (главным образом, геометрия групп Ли и однородных пространств), конформной теории поля (для п.5), понятие о перенормировках в квантовой теории поля (для п.4)

Вводный доклад. Модель PCF.
- линейная и нелинейная сигма-модель, получение последней из первой; общий вид действия нелинейной сигма-модели, комментарий о связи с действием бозонной струны
- модель PCF как эффективная теория # [PW, первые две страницы
- классическая динамика модели PCF: симметрии, сохраняющиеся токи, уравнения движения. Пример PCF-модели группы SU(2), вычисление метрики # [Z, гл.3]
- условие нулевой кривизны в PCF, комментарии насчет проблем с голоморфной факторизацией # [E, 2.1], [Z, гл. 3]
- связность Лакса и (почти) классическая интегрируемость PCF. Матрица монодромии и янгианные заряды. # [Z, гл. 3]
Модель PCF + WZW(N)
- мотивация: исправить отсутствие голоморфной факторизации в модели PCF. догадка о конформности теории WZW # [E, 2.2]
- действие WZW, его независимость от непрерывных деформаций сечения, уровень # [E, 2.2], [Z, 5.2]
- восстановление голоморфной факторизации при добавлении члена WZW, конформность модели WZW на квантовом уровне # [E, 2.2]
- B-поле в модели PCF+WZW. Вычисление метрики и B-поля PCF-WZW модели для группы SU(2)
Сигма-модели однородных пространств
- напоминание о геометрии однородных пространств; группа симметрий G, группа изотропии H; G/H. примеры однородных пространств # [Z, гл. 2]
- понятие симметрического пространства, связь наличия геодезических отражений и структуры коммутаторов в разложении Lie(G) = Lie(H) + m # [ДНФ, §6.1]
- метрика на однородном (симметрическом) пространстве G/H, ее уникальность для полупростой G # [ДНФ, §6.3], [K, гл. 18]
- действие G/H-модели как интеграла от метрики на однородном пространстве (см пункт с); получение действия G/H-модели из действия G-модели калиброванием глобальных H-симметрий # [Z, гл. 4]
- связность Лакса для сигма-модели симметрического однородного пространства, классическая интегрируемость # [Z, гл. 4]
- вычисление метрики G/H-модели по рецепту, данному в пп. c и d для SO(3)/SO(2) и для SU(2)/U(1). Они совпадут # [Z, гл. 4]
- (***) Аналогично для SU(3)/SU(2) и для SO(6)/SO(5). Они не совпадут
Перенормировки в сигма-моделях
- общие квантовые свойства сигма-моделей, напоминание (очень кратко) о бета-функции и уравнении ренормгруппы в общей квантовой теории поля # [Z, гл. 6]
- общий вид однопетлевой бета-функция в сигма-модели без B-поля (поток Риччи)
- (*) вычисление бета-функции в модели PCF методом фонового поля # [Z, гл. 6]
- тензор Риччи на группах Ли, группы Ли – эйнштейновы римановы многообразия (с канонической метрикой на группе) # [K, §8.5], асимптотическая свобода в теории PCF # [Z, гл. 6]
- случай общей сигма-модели без B-поля. Нормальные римановы координаты, вычисление однопетлевой бета-функции в нормальных координатах # [T, 7.1]
- (***) бета-функция в сигма-модели с B-полем, однопетлевые уравнения, бета-функция в модели WZW, однопетлевая квантовая конформность модели WZW
Квантовые модели WZW
- алгебра токов в контексте модели WZW (*получение OPE J(x) J(y) = … из канонических скобок Пуассона), уровень и структурные константы алгебры глобальных симметрий в OPE # [E, 3.1]
- Получение коммутационных соотношений между лорановскими модами J(z), аффинная алгебра Каца-Муди # [E, 3.2]
- конструкция Шугавары, тензор энергии-импульса Шугавары, вычисление T(z) J(w), T(z) T(w) # [E, 3.3].
- центральный заряд, описание в терминах свободных бозонов или фермионов, бозон-фермионное соответствие, неабелева бозонизация (на примере O(N)-модели) # [E, 3.4, 3.5]

Список литературы:

# [ДНФ] – Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко “Современная геометрия”
# [Z] – K. Zarembo, “Integrability in Sigma-Models” 1712.07725
# [E] – Lorenz Eberhardt, “Wess-Zumino-Witten Models” lectures
# [PW] – A. M. Polyakov and P. Wiegmann, Theory of nonabelian goldstone bosons in two dimensions
# [T] – D. Tong “String Theory”
# [К] – М. О. Катанаев “Геометрические методы в математической физике

Теория поля Изинга

Куратор:

Аннотация:
Вблизи критической точки статистическая модель Изинга на двумерной решётке допускает непрерывное квантово-теоретико-полевое описание. Эта квантовая теория поля оказывается весьма интересной и богатой для изучения, будучи точно решаемой в различных смыслах при определённых значениях параметров. Для общей точки пространства параметров могут быть разработаны эффективные методы пертурбативного разложения около точных решений, позволяющие получать аналитические и численные ответы для корреляторов с большой точностью. Некоторые из результатов, полученных в этой модели, мы и изучим в этой секции

Пререквизиты:
знакомство с конформной теорией поля (в частности, минимальными моделями CFT); иметь представления об основах стат. физики и квантовой теории поля

Введение в модель Изинга # [LZ1]-2,4; # [DF] гл. 12.1-12.2, # [LP3]
- Двумерная модель Изинга на решётке. Операторы беспорядка и дуальность Крамерса-Ванье. Свободные фермионы
- Переход к непрерывному пределу вблизи критической точки. Ising CFT: идентификация с минимальной моделью М(3,4), спектр операторов и их соответствие с дискретными аналогами
Теория поля Изинга # [XZ начало, FZ1 прил. А]
- Релевантные деформации Ising CFT вблизи критической точки. Фазовая диаграмма: общая характеристика теории в разных областях параметров. Деформации мнимым магнитным полем и фиксированная точка Ли-Янга
- Вычисление формфакторов оператора спина при $h=0$, $T \neq T_c$.
Интегрируемые теории поля # [D, LL9, Z1]
- Спектр интегралов движения в возмущениях конформных теорий поля
- Интегрируемость в теориях поля и её следствия для S-матрицы. Аналитическое поведение S-матриц и аксиомы бутстрапа
Интегрируемое направление $T=T_c$, $h\neq 0$ # [Z1, D, LL10, YZ]
- Предположение Замолодчикова; спектр частиц и их взаимоотношения из бутстрапа, связь с алгеброй Ли Е8
- Доказательства: спектр частиц через подход truncated fermion space
Поведение при $T< T_c$ # [LZ 7-9, FZ2, FZ1 прил. B]
- Сценарий McCoy-Wu конфайнмента фермионов в ненулевом магнитном поле (качественное описание)
- Подход FZ к описанию спектра мезонов с уравнением Бете-Солпитера. Проблема многочастичных поправок и уравнение BS в lightcone-frame. Описание спектра мезонов в нерелятивистском и квазиклассическом пределах

Список литературы:

# [LZ] – лекции Замолодчикова про Ising field theory, https://www.weizmann.ac.il/complex/falkovich/courses
# [LL] – – лекции Лашкевича про интегрируемые теории поля lashkevi.itp.ac.ru/lectures/imqft
# [LP] – лекции Пугая по решёточным моделям. http://slava.itp.ac.ru/intro-to-integrable-lattice-models/
# [D] – Delfino, “Integrable field theory and critical phenomena. The Ising model in a magnetic field”
# [DF] – Di Francesco et al., “Conformal field theory”
# [Z1] – Zamolodchikov, “Integrable Field Theory from Conformal Field Theory”
# [FZ1] – Fonseca-Zamolodchikov, “Ising field theory in a magnetic field: analytic properties of the free energy”
# [FZ2] – Fonseca-Zamolodchikov, “Ising spectroscopy: Mesons at T<Tc”
# [YZ] – Yurov-Zamolodchikov, “Trucated fermion space approach to the critical 2D Ising model with magnetic field”
# [XZ] – Xu-Zamolodchikov, “2D Ising Field Theory in a Magnetic Field: The Yang-Lee Singularity”