Совместный семинар по Математической физике
НИУ ВШЭ и Центра перспективных исследований Сколтеха
по средам в 17.30 в аудитории 110 факультета математики ВШЭ
11 марта 2020г.
Антон Джамай (унив. Северного Колорадо)
Дискретные ортогональные многочлены и дискретные уравнения Пенлеве
Предположим, что некотором дискретном наборе точек на прямой, скажем на натуральных числах, задана некоторая весовая функция, и мы хотим построить набор многочленов, ортогональных относительно данного веса. Стандартная процедура Грама-Шмидта не эффективна. Более быстрый подход состоит в использовании рекурсивной процедуры, основанной на так называемом трехчленном линейном соотношении. Но для многих весов коэффициенты этого соотношения сложным образом зависят от шага рекурсии. Мы рассмотрим один такой пример, где эта зависимость оказывается заданной дискретным уравнением Пенлеве, и покажем, как общая алгебро-геометрическая теория уравнений Пенлеве помогает эффективно работать с задачами такого типа. Оказывается, что класс важных прикладных задач, в которых возникают дискретные уравнения Пенлеве, достаточно велик. Одна из целей доклада – показать, как узнавать и приводить к стандартному виду уравнения этого типа (совместная работа с Галиной Филипук (Варшава) и Александром Стоксом (Лондон)).
(на основе https://arxiv.org/abs/1910.10981)
В докладе будет рассказано о результатах зеркальной симметрии разного типа для простых эллиптических особенностей. В частности, будет показано, как выписать потенциал произвольного фробениусового многообразия данной эллиптической особенности явно через модулярные формы. Также будет рассказано о построении фробениусового многообразия для пары – эллиптическая особенность и некоторая её группа симметрий, дана соответствующая теорема зеркальной симметрии. Как следствие данной теоремы будут показаны некоторые соотношения между модулярными формами
Алгебра Ли Diff_q – это очень интересная алгебра; например, факторами её универсальной обёртывающей являются q-деформации W_n-алгебр при c=n-1 (в частности, сумма алгебр Гейзенберга и Вирасоро при c=1). Действие Diff_q на тензорном произведении n фоковских модулей пропускается через W_n алгебру.
Вместо Фоковских модулей мы рассмотрим твистованные Фоковские модули (то есть действие подкручено на автоморфизм алгебры sigma \in SL_2(Z)). Действие Diff_q на соотвествующем представлении пропускается через твистованную W-алгебру. Я дам определение твистованной W-алгебры через образующие и соотношения и построю две различные бозонизации: через n бозонов и через один бозон с нетривиальной монодромией. Вторая бозонизация является новой даже для нетвистованной W-алгебры; и по-видимому является q-деформацией twist-field представлений.
Предварительных знаний о том, что такое W-алгебра и алгебра Ли Diff_q не потребуется
Доклад посвящён дуальности, возникающей в многочастичных аналогах уравнений Пенлеве введённых K.Takasaki. Данные системы могут быть получены с использованием процедуры гамильтоновой редукции для матричных аналогов уравнений Пенлеве. В докладе я расскажу о данной редукции, в качестве простейшего примера будет рассмотрена самодуальная рациональная модель Калоджеро-Мозера. В продолжении будут введены основные понятия теории уравнений Пенлеве и изомонодромных деформаций, а также классического соответствия Калоджеро-Пенлеве для 2-частичных систем. Далее будет показано, как данное соответствие может быть расширено на случай многочастичных систем, используя процедуру гамильтоновой редукции для матричных аналогов уравнений Пенлеве, и какие дуальные системы возникают в ходе применения данной процедуры к матричным уравнениям Пенлеве. Также я расскажу, как данная дуальность может быть описана в терминах спектральной кривой нередуцированной системы и чем она отличается от дуальности Руйсенарса
Будет рассказано об обобщении квантово-классической дуальности между квантовыми периодическими моделями Годена и классическими системами Калоджеро-Мозера типа A_{n-1}. Будет рассмотрен квантовый интегрируемый магнетик Годена с диагональными граничными условиями, который будет решен при помощи алгебраического анзаца Бете. Далее мы перейдем к рассмотрению классических систем Калоджеро-Мозера, построенных по системам корней классических алгебр Ли(so(2n),so(2n+1),sp(2n)). Наконец, я расскажу об основном результате нашей совместной работы с А.Забродиным и А.Зотовым о том, каким образом эти две интегрируемые системы связаны между собой
Исследования посвящены соответствию между изомонодромными деформациями и конформной теорией поля. В диссертации получен ряд результатов по этому соответствию, а именно:
1) доказана формула Гамаюна-Иоргова-Лисового для тау-функции уравнений Пенлеве VI, V и III в виде ряда Фурье от конформных блоков алгебры Вирасоро с центральным зарядом 1.
2) Построена и доказана q-деформация этой формулы для уравнения q-Пенлеве III.
3) Соответствие было расширено на случай центрального заряда c=-2.
Доказательства основаны на теории представлений алгебр Вирасоро и Супер Вирасоро, а также на соотношениях раздутия Накаджимы-Ёшиоки
Андрей Ляшик (Сколтех, унив. ВШЭ)
Векторы Бете и их скалярные произведения в квантовых интегрируемых моделях
Работа посвящена изучению векторов Бете в рамках подхода алгебраического анзаца Бете для систем, обладающих квантовой R-матрицей старших рангов. В этой работе мы изучаем новую конструкцию векторов Бете, которая базируется на токовой реализации Дринфельда янгианной алгебры старшего ранга. Среди прочих свойств нами были обнаружены новые симметрии этих векторов. Также мы научились вычислять скалярные произведения таких векторов. В рамках работы мы показали, при каких условиях векторы Бете становятся собственными для квантовой системы и нашли их нормы