теоретический минимум по математической физике
Математика
- Производные и интегралы (умение дифференцировать и интегрировать);
- Линейная алгебра: векторные пространства, прямые суммы, тензорные произведения, факторпространства. Системы линейных уравнений и матрицы. Диагонализация матриц, нахождение собственных значений;
- Векторный анализ: векторные и тензорные поля, градиент, дивергенция, ротор.
- Многомерные интегралы. Формула Стокса;
- Понятие об обобщенных функциях. Дельта-функция и ее основные свойства.
- Обыкновенные дифференциальные уравнения (знание стандартных методов решения).
- Уравнения в частных производных. Замены переменных. Методы решения: метод характеристик, разделение переменных, преобразование Фурье (для линейных уравнений).
- Уравнения математической физики (Лапласа, теплопроводности, волновое уравнение, Клейна-Гордона,…). Метод функций Грина. Распространение волн в 1, 2 и 3 измерениях. Краевые задачи для оператора Лапласа.
- ТФКП: голоморфные и мероморфные функции, формула Коши, интегралы типа Коши, формулы Сохоцкого, вычисления интегралов с помощью вычетов, основные свойства и примеры конформных отображений, римановы поверхности функций.
- Асимптотические методы вычисления интегралов: стационарной фазы, метод Лапласа, метод перевала.
- Гипергеометрическое уравнение, его особенности и поведение решений вблизи особенностей. Вырождения гипергеометрических функций.
- Эллиптические интегралы. Определение и основные свойства эллиптических функций.
- Основы теории групп: нормальные подгруппы, гомоморфизмы, симметрические группы, представления конечных групп.
- Понятие о группах и алгебрах Ли, группа вращений и SU(2), их конечномерные представления.
- Основные понятия дифференциальной геометрии: криволинейные координаты, метрика, геодезические, символы Кристоффеля, тензор кривизны.
- Дифференциальные формы, их интегрирование, дифференциал де Рама, определение когомологии де Рама.
- Гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского) и ее основные модели. Пространства де-Ситтера и анти-де-Ситтера.
- Определение гомотопических групп и групп гомологий, простейшие примеры.
- Функциональный анализ: интеграл Лебега, банаховы пространства, гильбертово пространство, унитарные и самосопряженные операторы, спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов.
- Теория вероятностей: случайные величины, их распределения, моменты, характеристические функции, неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема.
Механика и гидродинамика
- Лагранжева механика: функция Лагранжа, уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Симметрии и законы сохранения. Интегрирование одномерного движения в потенциале. Движение в центрально-симметричном поле и задача Кеплера.
- Гамильтонова механика: преобразование Лежандра, функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона, скобка Пуассона. Интегралы движения. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.
- Вращение твердого тела: уравнения Эйлера, интегралы движения.
- Основные принципы и понятия гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера), описание вязких жидкостей, уравнение Навье-Стокса.
- Основные понятия СТО. Принцип относительности. Пространство Минковского. 4-векторы, преобразования Лоренца. Релятивистская кинематика. Действие для релятивистской частицы. Законы сохранения энергии и импульса в СТО.
Классическая теория поля и гравитация
- Классическая теория поля. Теорема Нетер и сохраняющиеся токи. Тензор энергии-импульса скалярного поля. Свободные и взаимодействующие поля. Представление свободного поля в виде системы осцилляторов.
- Классическая релятивистская электродинамика: калибровочно-инвариантное действие и уравнения Максвелла. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Электромагнитные волны.
- Примеры классических теориий поля: Гинзбурга-Ландау, Лиувилля и синус-Гордона (в двух измерениях).
- Простейшие солитонные решения нелинейных уравнений в частных производных.
- Гравитационное поле в релятивистской механике. Принцип эквивалентности. Системы отсчета в ОТО. Релятивистская частица в гравитационном поле. Предельный переход к ньютоновской теории гравитации.
- Действие для гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна.
- Центрально-симметричное гравитационное поле. Решение Шварцшильда.Черные дыры. Горизонт событий.
Квантовая механика
- Основные понятия квантовой механики: пространство состояний, принцип суперпозиции, измерение, вероятностная интерпретация, волновая функция, оператор Гамильтона, энергетический спектр, операторы импульса и координаты, соотношение неопределенности. Интерпретация квантовой механики с помощью интеграла по траекториям (по Фейнману).
- Уравнение Шредингера и его основные свойства. Решение уравнения Шредингера в одном измерении. Дискретный и непрерывный спектр. Нахождение уровней энергии частицы в потенциальной яме (простые примеры). Рассеяние, нахождение коэффициента отражения (простые прмеры). Безотражательные потенциалы.
- Гармонический осциллятор. Нахождение спектра и собственных функций гамильтониана различными методами. Операторы рождения и уничтожения. Когерентные состояния.
- Движение в центрально-симметричном поле. Движение в кулоновом поле. Разделение переменных в задаче двух тел. Атом водорода.
- Предельный переход к классической механике. Квазиклассическое приближение.
- Прохождение через потенциальный барьер (туннельный эффект). Правило квантования Бора-Зоммерфельда.
- Основные приемы теории возмущений. Секулярное уравнение.
- Уравнение Шредингера в магнитном поле. Уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле (уровни Ландау).
- Момент импульса. Сложение моментов и связь с теорией представлений группы вращений.
- Понятие спина. Связь с теорией представлений группы SU(2). Матрицы Паули.
- Принцип неразличимости (тождественности) одинаковых частиц. Понятие вторичного квантования. Статистики Бозе и Ферми.
Статистическая физика
- Основные понятия теории вероятностей и теории случайных процессов: статистическое распределение, статистическая независимость и корреляции, среднее значение, дисперсия. Гауссово распределение. Распределение Пуассона.
- Микроканонический, канонический и большой канонический ансамбли. Статистическая сумма.
- Большое каноническое распределение (с переменным числом частиц) и большая статистическая сумма.
- Понятия энтропии и температуры в статистической термодинамике. Свободная энергия и термодинамические потенциалы.
- Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Распределение Максвелла.
- Ферми- и бозе-газы элементарных частиц. Распределения Ферми и Бозе.
- Задача об излучении абсолютно черного тела. Формула Планка.
- Одномерная модель Изинга. Метод трансфер-матрицы.
- Фазовые переходы и их классификация. Критическая точка. Масштабная инвариантность.
Литература
- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, тома I, II, III, V.
- Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, Современная геометрия
- М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.
- М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, том I.
- Л.Б.Коралов, Я.Г.Синай, Теория вероятностей и случайные процессы.
- Э.Т.Уиттекер, Д.Н.Ватсон, Курс современного анализа.