теоретический минимум по математической физике


Математика

  • Производные и интегралы (умение дифференцировать и интегрировать);
  • Линейная алгебра: векторные пространства, прямые суммы, тензорные произведения, факторпространства. Системы линейных уравнений и матрицы. Диагонализация матриц, нахождение собственных значений;
  • Векторный анализ: векторные и тензорные поля, градиент, дивергенция, ротор.
  • Многомерные интегралы. Формула Стокса;
  • Понятие об обобщенных функциях. Дельта-функция и ее основные свойства.
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения (знание стандартных методов решения).
  • Уравнения в частных производных. Замены переменных. Методы решения: метод характеристик, разделение переменных, преобразование Фурье (для линейных уравнений).
  • Уравнения математической физики (Лапласа, теплопроводности, волновое уравнение, Клейна-Гордона,…). Метод функций Грина. Распространение волн в 1, 2 и 3 измерениях. Краевые задачи для оператора Лапласа.
  • ТФКП: голоморфные и мероморфные функции, формула Коши, интегралы типа Коши, формулы Сохоцкого, вычисления интегралов с помощью вычетов, основные свойства и примеры конформных отображений, римановы поверхности функций.
  • Асимптотические методы вычисления интегралов: стационарной фазы, метод Лапласа, метод перевала.
  • Гипергеометрическое уравнение, его особенности и поведение решений вблизи особенностей. Вырождения гипергеометрических функций.
  • Эллиптические интегралы. Определение и основные свойства эллиптических функций.
  • Основы теории групп: нормальные подгруппы, гомоморфизмы, симметрические группы, представления конечных групп.
  • Понятие о группах и алгебрах Ли, группа вращений и SU(2), их конечномерные представления.
  • Основные понятия дифференциальной геометрии: криволинейные координаты, метрика, геодезические, символы Кристоффеля, тензор кривизны.
  • Дифференциальные формы, их интегрирование, дифференциал де Рама, определение когомологии де Рама.
  • Гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского) и ее основные модели. Пространства де-Ситтера и анти-де-Ситтера.
  • Определение гомотопических групп и групп гомологий, простейшие примеры.
  • Функциональный анализ: интеграл Лебега, банаховы пространства, гильбертово пространство, унитарные и самосопряженные операторы, спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов.
  • Теория вероятностей: случайные величины, их распределения, моменты, характеристические функции, неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема.

Механика и гидродинамика

  • Лагранжева механика: функция Лагранжа, уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Симметрии и законы сохранения. Интегрирование одномерного движения в потенциале. Движение в центрально-симметричном поле и задача Кеплера.
  • Гамильтонова механика: преобразование Лежандра, функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона, скобка Пуассона. Интегралы движения. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.
  • Вращение твердого тела: уравнения Эйлера, интегралы движения.
  • Основные принципы и понятия гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера), описание вязких жидкостей, уравнение Навье-Стокса.
  • Основные понятия СТО. Принцип относительности. Пространство Минковского. 4-векторы, преобразования Лоренца. Релятивистская кинематика. Действие для релятивистской частицы. Законы сохранения энергии и импульса в СТО.

Классическая теория поля и гравитация

  • Классическая теория поля. Теорема Нетер и сохраняющиеся токи. Тензор энергии-импульса скалярного поля. Свободные и взаимодействующие поля. Представление свободного поля в виде системы осцилляторов.
  • Классическая релятивистская электродинамика: калибровочно-инвариантное действие и уравнения Максвелла. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Электромагнитные волны.
  • Примеры классических теориий поля: Гинзбурга-Ландау, Лиувилля и синус-Гордона (в двух измерениях).
  • Простейшие солитонные решения нелинейных уравнений в частных производных.
  • Гравитационное поле в релятивистской механике. Принцип эквивалентности. Системы отсчета в ОТО. Релятивистская частица в гравитационном поле. Предельный переход к ньютоновской теории гравитации.
  • Действие для гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна.
  • Центрально-симметричное гравитационное поле. Решение Шварцшильда.Черные дыры. Горизонт событий.

Квантовая механика

  • Основные понятия квантовой механики: пространство состояний, принцип суперпозиции, измерение, вероятностная интерпретация, волновая функция, оператор Гамильтона, энергетический спектр, операторы импульса и координаты, соотношение неопределенности. Интерпретация квантовой механики с помощью интеграла по траекториям (по Фейнману).
  • Уравнение Шредингера и его основные свойства. Решение уравнения Шредингера в одном измерении. Дискретный и непрерывный спектр. Нахождение уровней энергии частицы в потенциальной яме (простые примеры). Рассеяние, нахождение коэффициента отражения (простые прмеры). Безотражательные потенциалы.
  • Гармонический осциллятор. Нахождение спектра и собственных функций гамильтониана различными методами. Операторы рождения и уничтожения. Когерентные состояния.
  • Движение в центрально-симметричном поле. Движение в кулоновом поле. Разделение переменных в задаче двух тел. Атом водорода.
  • Предельный переход к классической механике. Квазиклассическое приближение.
  • Прохождение через потенциальный барьер (туннельный эффект). Правило квантования Бора-Зоммерфельда.
  • Основные приемы теории возмущений. Секулярное уравнение.
  • Уравнение Шредингера в магнитном поле. Уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле (уровни Ландау).
  • Момент импульса. Сложение моментов и связь с теорией представлений группы вращений.
  • Понятие спина. Связь с теорией представлений группы SU(2). Матрицы Паули.
  • Принцип неразличимости (тождественности) одинаковых частиц. Понятие вторичного квантования. Статистики Бозе и Ферми.

Статистическая физика

  • Основные понятия теории вероятностей и теории случайных процессов: статистическое распределение, статистическая независимость и корреляции, среднее значение, дисперсия. Гауссово распределение. Распределение Пуассона.
  • Микроканонический, канонический и большой канонический ансамбли. Статистическая сумма.
  • Большое каноническое распределение (с переменным числом частиц) и большая статистическая сумма.
  • Понятия энтропии и температуры в статистической термодинамике. Свободная энергия и термодинамические потенциалы.
  • Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Распределение Максвелла.
  • Ферми- и бозе-газы элементарных частиц. Распределения Ферми и Бозе.
  • Задача об излучении абсолютно черного тела. Формула Планка.
  • Одномерная модель Изинга. Метод трансфер-матрицы.
  • Фазовые переходы и их классификация. Критическая точка. Масштабная инвариантность.

Литература

  1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, тома I, II, III, V.
  2. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, Современная геометрия
  3. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.
  4. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, том I.
  5. Л.Б.Коралов, Я.Г.Синай, Теория вероятностей и случайные процессы.
  6. Э.Т.Уиттекер, Д.Н.Ватсон, Курс современного анализа.