НИУ ВШЭ и Центра перспективных исследований Сколтеха
по средам в 16.20 в zoom
Я расскажу, что представляет собой анзац Бете в магнитной цепочке Годена и какие геометрические и комбинаторные конструкции стоят за его решениями. Я посвящу первую половину доклада элементарному введению в предмет, а во второй части постараюсь объяснить идеи доказательств основных результатов. Подробная аннотация работы ниже.
Модель Годена — это интегрируемая квантовая магнитная цепочка, являющаяся вырождением цепочки XXX Гейзенберга, связанная с простой алгеброй Ли $\mathfrak{g}$. Согласно классическим работам Фейгина, Френкеля и Решетихина, интегралы этой системы можно получить из центра универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли $\hat{\mathfrak{g}}$ на критическом уровне. Эти интегралы порождают максимальную коммутативную подалгебру в тензорной степени универсальной обертывающей алгебры $U(g)^{\otimes n}$, зависящую от набора различных точек $z_1,…,z_n$ на прямой, называемую алгеброй Годена. Соответственно, анзац Бете для этой системы можно выразить как условие отсутствия монодромии у линейных систем дифференциальных уравнений специального вида с особенностями в точках $z_i$, называемых операми. Это позволяет доказать полноту анзаца Бете для модели Годена.
Решения анзаца Бете в модели Годена являются достаточно сложными функциями от параметров модели ($z_1,…z_n$), в частности, это многозначные функции (то же самое относится, безусловно, к любой более сложной системе — например, XXX), поэтому имеется группа монодромии, переставляющая решения анзаца Бете. Чтобы задать эту группу монодромии какими-то образующими и соотношениями, полезно компактифицировать пространство параметров системы, т.е. расширить рассматриваемое семейство коммутативных подалгебр до семейства коммутативных подалгебр, параметризованного компактным многообразием. Мы описываем такую компактификацию, следуя старым работам Винберга и Шувалова и более новым Агирре, Фельдера и Веселова: эта компактификация оказывается компактификацией Делиня-Мамфорда пространства стабильных рациональных кривых с отмеченными точками $\overline{M_{0,n+1}}$. Мы показываем, что фундаментальная группа $J_n$ ее вещественной формы $\overline{M_{0,n+1}}(\mathbb{R})$ (называемая кактусной группой) действует монодромией на решениях анзаца Бете.
Примечательно, что та же группа $J_n$ возникает совершенно независимо в теории кристаллов Кашивары, представляющих собой комбинаторную модель представлений простой алгебры Ли. Кристаллы можно тензорно умножать, причем произведения кристаллов в разных порядках изоморфны. Однако, это тензорное произведение не является ни симметрическим, ни даже braided. Тем не менее, на категории кристаллов, связанных с данной алгеброй Ли, есть функториальный изоморфизм между тензорными произведениями пары объектов в разных порядках (называемый коммутором), удовлетворяющий некоторым естественным условиям (аксиомам кограничной категории). Кактусная группа играет роль группы кос в кограничных моноидальных категориях, т.е. в частности действует на произведении любых n штук кристаллов Кашивары. Согласно гипотезе Этингофа, это действие кактусной группы эквивалентно ее действию на собственных векторах алгебр Годена в модели Годена. Мы (совместно с Халачевой, Камницером и Виксом) доказываем эту гипотезу, попутно получая комбинаторную параметризацию решений анзаца Бете. Идейно это связано с комбинаторной параметризацией Кириллова и Решетихина решений анзаца Бете для модели XXX
В этом докладе мы рассмотрим задачу описания унитарных представлений бесконечной группы $S(\infty)$ всех финитных перестановок счетного множества. В общей постановке такая задача необозрима, но можно рассматривать представления, непрерывные относительно различных топологий. Мы зафиксируем некоторую топологию и опишем полную классификацию всех непрерывных унитарных представлений
Я расскажу про уравнение отражение для классических интегрируемых систем и его решениях, связанных с цепочкой Тоды с различными граничными членами
За красивым названием стоит просто пара – многочлен f, имеющий только невырожденные критические точки, и какая-то его группа симметрий G. Если группа симметрий абелева, а многочлен f берется из определенного класса, такой паре можно сопоставить двойственную пару \tilde f, \tilde G – т.н. двойственность Берглюнда-Хубша-Хеннингсона. Это сопоставление играет основную роль в зеркальной симметрии. В докладе будет обсуждена связь между этими парами. Также можно обсудить связанные вопросы “эквивариантной” теории особенностей, а также неабелевых групп симметрий
Я попробую рассказать об одном довольно известном сюжете, связанном с вычислением киральной аномалии с помощью метода функционального интегрирования. Мы покажем, что аномалия в φ связана с неинвариантностью меры интегрирования при киральных вращениях. Планируется также обсудить связь с теоремой об индексе и некоторые близкие физические моменты
Тороидальная алгебра gl_1 имеет хорошо известное фоковское представление. Для этого представления имеется явная формула для образующих Шевале тороидальной gl_1 (бозонизация). Результатом этой диссертации является аналогичная формула в случае фоковского представления, твистованного элементом SL(2,Z). Ответ выражается через вертексные операторы квантовой аффинной gl_n
Я расскажу про случайные блуждания на алгебре Гекке и их связь с процессами взаимодействующих частиц типа ASEP-а (asymmetric simple exclusion process). Постараюсь сделать акцент на том, как алгебраическая структура, приходящая из алгебры Гекке, позволяет получать интересные вероятностные результаты
Я расскажу про гармонические функции в смысле Вершика—Керова на графе Юнга с кратностями ребер, отвечающими правилу Пиери для полиномов Макдональда. Описание таких функций дается теоремой Матвеева. Она гласит, что список неразложимых гармонических функций, полученный С. Керовым при помощи некоторой явной конструкции, является полным
Я напомню про то, что было в прошлый раз и продолжу рассказывать про Ext’ы, после чего с их помощью дам второе определение когомологий алгебр Ли. Затем я сформулирую и докажу теорему Костанта, которая позволяет вычислить когомологии некоторых нильпотентных алгебр Ли
Я расскажу про гармонические функции на двух градуированных графах, связанных с мономиальным базисом в алгебре симметрических функций и базисом из функций Шура
Я расскажу про основные определения и мотивацию понятия когомологий алгебр Ли, а также сформулирую и докажу теорему Костанта, которая позволяет вычислить когомологии некоторых нильпотентных алгебр Ли
Глобальные и локальные модуля Вейля являются важнейшим классом представлений алгебры токов полупростой алгебры Ли. Фурье и Литтлманн доказали, что в типах ADE локальный модуль Вейля изоморфен аффинному модулю Демазюра уровня 1. Я расскажу про конструкцию и свойства глобальной версии модулей Демазюра произвольного уровня, являющихся обобщением глобальных модулей Вейля