| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА | ПРОГРАММА |
Дубна / 30 апреля – 8 мая 2019 г.
Школа планируется “рабочей”, ее программа будет состоять из докладов участников. Ниже в файле приблизительная программа школы. Темы, указанные со звёздочкой, не входят в обязательные для рассмотрения в рамках школы. Конечно, их изучение всячески приветствуется, и в случае желания участников мы их постараемся обсудить.
Желающим участвовать нужно до 3 марта заполнить форму. В этой форме надо указать 1-2 темы (и, по возможности, конкретные номера докладов), по которым они хотят сделать доклад во время школы. В случае любых затруднений или вопросов по темам – не стесняйтесь задавать вопросы консультантам (указаны после названий тем) или на адрес оргкомитета
Чтобы избежать ситуации, когда участники будут готовить одни и те же доклады, окончательное распределение докладов по участникам (внутри выбранных участниками тем) будет произведено организаторами.
Количество тем ниже превышает возможности организаторов. Поэтому темы, на которые не наберется достаточное число докладчиков, в начале марта будут убраны из программы школы.
Для подготовки к школе участникам необходимо до 1 апреля подготовить предварительные планы докладов, объёмом до 2 страниц.
В планах надо явно написать основные формулы/утверждения, которые будут выводиться/объясняться на школе с пояснениями, и их иллюстрацию на конкретном примере (чем конкретнее – тем лучше).
Планы нужно высылать на почту кураторам соответствующих тем (с копией на адрес оргкомитета ), с темой письма “План доклада”. Предоставление планов и их достаточно высокий уровень будут основным условием участия в школе. План, помимо отправки на почту, также может быть лично обсуждён с куратором темы в Москве при встрече по договорённости.
Поскольку объем материала в каждой теме велик, а времени на доклад – мало, просьба к участникам подходить к подготовке доклада внимательно, стараться заранее продумать изложение материала максимально понятным образом, иллюстрируя конкретными примерами, не перегружая деталями, несущественными для первого знакомства с темой.
1. Двойственность Шура-Вейля, двойственность Хау
Кураторы / Л.Г. Рыбников, М.А. Берштейн, Р.Р. Гонин
Пререквизиты: пункт 0.
0. Инвариантная мера на компактной группе Ли, полная приводимость комплексных представлений компактной группы Ли, ортогональность характеров.
1. Представления группы GL_n, представления группы U_n. Характеры GL_n как симметрические функции на торе. Симметрические и внешние степени стандартного представления и их характеры. Характеры тензорных произведений внешних степеней стандартного представления (подкрученного на степень определителя) образуют базис в пространстве характеров. Описание неприводимых представлений GL_n как старших компонент в произведении внешних степеней.
2. Вычисление радиальной части инвариантной меры на U_n. Формула для скалярного произведения характеров. Формула Вейля для характера неприводимого представления.
3. Теорема плотности.
4. Двойственность Шура-Вейля (= основная теорема теории инвариантов). Конструкция Шура представлений симметрической группы (с объяснением понятия индуцированного представления). Функторы Шура.
5. Двойственность Хау для GL_n (симметрическая и кососимметрическая) и тождество с характерами.
6. Базис Гельфанда-Цетлина для S_n и GL_n. Формулы для характеров через таблицы Юнга. Формулы Пьери итд. (это опционально)
Литература
(Литература довольно условная (там содержится много больше материала, чем нужно для докладов, предполагается, что куратор пришлет вам необходимые задачи)
[1] Адамс Дж. Ф. Лекции по группам Ли
[2] P. Etingof, O. Golberg, S. Hensel, T. Liu, A. Schwendner, D. Vaintrob, E. Yudovina Introduction to representation theory
[3] Goodman Wallach Symmetry, Representations, and Invariants
[4] Howe duality файл лежит на Яндекс-диске
2. Классическая интегрируемость на примере цепочки Тоды
Кураторы / И.А. Сечин, А.Н. Ляшик
Пререквизиты: желательно знать гамильтонову механику (пункт 0 плана)
0. Гамильтонова механика. Канонические уравнения движения. Симплектические многообразия, скобка Пуассона. Теорема Лиувилля, определение классической интегрируемой системы по Лиувиллю.
[1] часть 3
[2] глава 1
[3] chapters 2.1–2.3
1. Открытая цепочка Тоды. Функция Гамильтона и канонические уравнения движения. Представление Лакса размера $N \times N$, построение сохраняющихся величин. Классическая r-матричная структура, доказательство интегрируемости системы по Лиувиллю. (*) Открытые цепочки Тоды, построенные по произвольной простой алгебре Ли, их интегрируемость.
[2] глава 4.1
[3] chapters 4.6–4.7
2. Симплектические многообразия. Отображение момента. Гамильтонова редукция. Пример редукции системы для гамильтоновой системы, инвариантной относительно действия SO(3)
[2] главы 1.3–1.7
[6] глава 1
3. Открытая цепочка Тоды. Явное интегрирование уравнений движения методом проекции. Элементарный пример двухчастичной открытой цепочки Тоды. Редукция свободного матричного движения на пространстве симметричных положительно-определенных матриц к цепочке Тоды. (*) Обобщение на случай простых алгебр Ли.
[2] главы 4.3–4.5
[3] chapters 4.8–4.9
[4] статьи почти целиком
4. Замкнутая (периодическая) цепочка Тоды. Представление Лакса со спектральным параметром размера $N \times N$, классическая r-матричная структура. Вспомогательная линейная задача для $N \times N$ представления Лакса.
[3] chapters 6.1–6.3
[5] chapter 2
5. Представление Лакса цепочки Тоды с периодически граничными условиями размером $2 \times 2$ в виде трансфер-матрицы. Скобки Пуассона для трансфер-матриц, классическая r-матричная структура. Разделение переменных в замкнутой цепочке Тоды. (*) Спектральная дуальность для двух представлений Лакса цепочки Тоды.
[3] chapters 6.6–6.7
[5] chapter 2
Литература
[1] В.И. Арнольд. Математические методы классической механики.
[2] А.М.Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.
[3] O. Babelon, D. Bernard, M. Talon. Introduction to Classical Integrable Systems.
[4] М.А. Ольшанецкий, А.М. Переломов. Цепочка Тоды как редуцированная система.
M.A. Olshanetsky, A.M. Perelomov. Explicit Solutions of Classical Generalized Toda Models.
[5] E.K. Sklyanin. Bäcklund transformations and Baxter’s Q-operator
[6] А.Г. Рейман, М.А. Семенов-Тян-Шанский. Интегрируемые системы: теоретико-групповой подход.
3. Монополи и инстантоны
Кураторы / Н.М. Семенякин, И.А. Сечин, В.В. Лосяков
Пререквизиты: классическая теория поля. Сильно поможет делу знакомство с понятиями из пункта 1) плана. Для второй половины курса желательно владение подходом к квантовой механике через континуальный интеграл.
Группа Ли SU(2), матрицы Паули. Неабелевы калибровочные поля. Лагранжиан Янга-Миллса. Скалярные поля в фундаментальном и присоединенном представлении, механизм Хиггса. Гомотопическая классификация отображений S^3 в S^3.
[Ru] – главы 3, 4, 6, 8
Магнитные заряды в классической электродинамике. Монополь Дирака и магнитные трубки. Классическое и квантовое условие квантования магнитного заряда.
[Z] – раздел 4.4
[P] – раздел 2.1
[W] – раздел 5.1
[MS] – раздел 8.1
Монополь т’Хоофта-Полякова. Нарушение неабелевой симметрии до абелевой, квантованный магнитный заряд. BPS монополь, связь энергии и топологического числа. Пространство модулей монополей, метрика на нём.
[Ra] – параграф 3.4
[P] – раздел 2.2 – 2.4
[Z] – раздел 5.7
[MS] – разделы 8.2-8.3
[Ru] – параграфы 9.1-9.4
[W] – раздел 5.2 – 5.3
[T] – разделы 2.1 – 2.2
Инстантон как процесс тунелирования между классическими вакуумами. Евклидово действие. Инстантон в квантовой механике. *Инстантон в 1+1 мерной абелевой модели Хиггса.
[VZNS] – разделы 1 – 2
[Ru] – разделы 13.1 – 13.2
[W] – раздел 9.1 – 9.4
Евклидово действие Янг-Миллса. Инстантонный заряд и член Черна-Саймонса. Уравнения (анти)самодуальности как условия минимизации действия. BPST инстантон: инстантон с зарядом 1 в SU(2) калибровочной теории.
[VZNS] – разделы 5 – 7
[Ra] – параграф 4.1-4.3
[Ru] – разделы 13.3 – 13.5
[MS] – раздел 10.1
[W] – раздел 10.1-10.6
Литература
MS] N. Manton, P. Sutcliffe. Topological solitons.
[P] J. Preskill. Vortices and monopoles.
[Ra] Раджираман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля.
[Ru] Рубаков. Классические калибровочные поля. Бозонные теории.
[T] D. Tong. TASI Lectures on Solitons.
[VZNS] А.Вайнштейн, В. Захаров, В. Новиков, М.Шифман. Инстантонная азбука.
[W] E. Weinberg. Classical Solutions in Quantum Field Theory.
[Z] Э. Зи. Квантовая теория поля в двух словах.
4. Модель Изинга-I
Кураторы // Н.М. Семенякин, А.Н. Ляшик, П.Г. Гавриленко, В.В. Лосяков
Пререквизиты: основы термодинамики и статистической физики: второе начало термодинамики, энтропия, термодинамические потенциалы. Уравнение состояния. Фазовые переходы первого и второго рода. Распределение Гиббса, вычисление термодинамических величин из статфизики.
Точное решение модели Изинга в одномерии методом трансфер-матрицы, её термодинамические потенциалы, намагниченность, магнитная восприимчивость. Фазовая диаграмма. Корреляционная функция спин-спин.
[B] – главы 1, 2
[G] – разделы 3.1 – 3.5
[KBS] – упражнение 1.1
Спонтанное нарушение симметрии. Теория Ландау-Гинзбурга. Функционал Ландау-Гинзбурга для модели Изинга в приближении среднего поля. Гипотеза о скейлинге. Критические индексы для спонтанной намагниченности, магнитной восприимчивости и теплоёмкости в приближении среднего поля.
[KBS] – глава 1, 2.1
[G] – разделы 2.8, 5.1-5.5
[L] – лекция 1
[K] – раздел II
Динамическая модель среднего поля в гауссовском приближении. Корреляционные функции ниже и выше температуры фазового перехода, низкотемпературное и высокотемпературное разложение, доменные стенки. Критическая экспоненты для корреляционной длины и скейлинговая размерность в критической точке. Поправки к теплоёмкости. Границы применимости теории Ландау-Гинзбурга.
[G] – разделы 5.6-5.7, 6
[KBS] – глава 2.2-2.3
[L] – лекция 2
[P] – раздел 1.3
Кадановская ренормгруппа. Ренорм-групповой поток на пространстве параметров. Неподвижные точки и критические экспоненты для Изинга на треугольной решётке. Соотношения между критическими экспонентами.
[FMS] – разделы 3.2-3.3
[G] – глава 9
[KBS] – глава 3, задачи 3.1-3.2
Точное решение двумерной модели Изинга на прямоугольной решётке. Свободные фермионы и корреляционные функции в точке фазового перехода. Точные скейлинговые показатели.
[L] – лекции 6-7
[IL] – раздел 2
[B] – раздел 7
[K] – раздел IV
Литература
[B] Р. Бэкстер. Точно решаемые модели в статистической механике.
[FMS] P.D. Francesco, P. Mathieu, D. Senechal. Conformal field theory.
[G] N. Goldenfeld. Lectures on phase transitions and critical phenomena.
[IL] N. Iorgov, O. Lisovyy. Ising correlations and elliptic determinants.
[K] John B. Kogut, An introduction to lattice gauge theory and spin systems.
[KBS] P. Kopietz, L.Bartosch, F. Schutz. Introduction to the Functional Renormalization Group.
[L] М. Лашкевич. Цикл лекций “Квантовая теория поля и статистическая механика”.
[P] А.М. Поляков. Калибровочные поля и струны.
5. Уравнение Янга-Бакстера, Q-операторы и разделение переменных
Куратор // С.Э. Деркачев
Пререквизиты: Хоть раз в жизни видеть
1) преобразование Фурье — одномерное и двумерное(D-мерное не помешает) Самые ходовые формулы — преобразование Фурье от степенной функции и представление дельта-функции.
2) преобразование Меллина
3) Интегральное представление для гипергеометрической функции, оба типа интегралов — интегральное представление Эйлера и интеграл Барнса
4) Квантовая механика — переход из одного представления в другое. Самый простой пример — преобразование Фурье, ну а по сути все занятия посвящены второму примеру — переходу в представление “разделенных переменных” в спиновой цепочке
5) Хорошо бы хоть раз в жизни видеть уравнение Янга-Бакстера, спиновые цепочки, RLL-соотношения и все такое На первом занятии или двух планируется рассказать все это, но лучше, если все это где-то уже слышали, конечно.
План:
R-матрица и уравнение Янга-Бакстера. Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера. Локальный гамильтониан. Q-оператор. Общая R-матрица. Уравнения Бакстера.
[D, введение] [S92], [F] [S00],
Представления комплексной группы SL(2,C). Неприводимые представления группы SL(2,C). Сплетающие операторы.Генераторы алгебр Ли.
[D. 2.1] [GNV] [Kn86]
SL(2,C)-инвариантная R-матрица. Уравнение Янга-Бакстера. Группа перестановок и соотношения для строительных блоков R-матрицы. Операторы R1 и R2
[D. глава 2],[DKM01]
Q-операторы и трансфер-матрицы в случае группы симметрии SL(2,C)
[D глава 3],[DKM 01]
Разделение переменных. Собственные функции оператора B(u). Действие операторов A(u) и D(u) на собственные функции.
[D. глава 3],[DKM01],[DL01]
Литература
[D] С. Э. Деркачев файл с материалами лежит на яндекс диске
[S92] E.K.Sklyanin, Quantum Inverse Scattering Method.Selected Topics, in “Quantum Group and Quantum Integrable Systems” hep-th/9211111.
[F96] L.D. Faddeev, How Algebraic Bethe Ansatz works for integrable model, In:
Quantum Symmetries/Symetries Qantiques, hep-th/9605187.
[S00] E.K. Sklyanin, Backlund transformations and Baxter’s Q-operator, nlin.SI/0009009.
[GNV] И. М. Гельфанд, М. И. Наймарк, Н.Я.Виленкин Обобщённые функции. Вып 5: Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений
[K86]Knapp. A.W. Representation theory of semisimple groups: an overview based on examples.
[DKM01] S. E. Derkachov, G. P. Korchemsky and A. N. Manashov, Noncompact Heisenberg spin magnets from high-energy QCD. I: Baxter Q-operator and separation of variables, [arXiv:hep-th/0107193].
[DL 01] H.J. De Vega, L.N. Lipatov Interaction of reggeized gluons in the Baxter-Sklyanin representation hep-ph/0107225
6. Грассман, Гизекер, Слодови
Куратор // В.В. Крылов
Пререквизиты: Знакомство с теорией представлений полупростых конечномерных алгебр Ли, начала алгебраической и симплектической геометрии (аффинные многообразия, гамильтонова редукция, линейные расслоения на проективных пространствах), векторные расслоения и пучки их сечений.
1) Колчанные многообразия Накаджимы — определение. Примеры — многообразие Гизекера (оно же пространство модулей инстантонов), реализация кокасательных расслоения к частичным многообразиям флагов как колчанных многообразий Накаджимы типа $A$.
[N1],[N2]
2) Колчанные многообразия типа $A$ как неподвижные точки многообразия Гизекера (относительно действия тора), $ADHM$-соответствие (алгебраический вариант). Как следствие — интерпретация колчанных многообразий типа $A$ как $C^\times$-эквивариантных векторных расслоений на проективной плоскости.
[N1],[N3]
3) Аффинный Грассманиан — основные свойства и примеры ($G(O)$-орбиты, случай $GL$, описание $G(O)$-орбит и их замыканий в некоторых частных случаях). Трансверсальные срезы в Аффинном Грассманиане — определение, примеры для $sl_2$.
*Можно обсудить Пуассонову структуру на срезах.
[Zhu],[BF]
4) Построение изоморфизма между колчанными многообразиями типа $A$ и срезами в аффинном Грассманиане для $GL$. Явная формула для изоморфизма. Примеры.
[He],[K],[MV]
5) Теорема Джекобсона-Морозова, многообразия Слодови, примеры.
*Можно обсудить полезные следствия из теоремы Джекобсона-Морозова, например, классификацию классов сопряженности нильпотентных элементов в типах $A,B,C,D$
*Также можно обсудить квантования многообразий Слодови — конечные $W$-алгебры.
[CG],[L1],[L2]
6) Изоморфизм между срезами Слодови (типа $A$) и колчанными многообразиями Накаджимы типа $A$.
[M]
Литература
(литература примерная и избыточная, подробности надо обсуждать с куратором темы по мере подготовки доклада)
[BF] A. Braverman and M. Finkelberg, Pursuing the double affine Grassmannian I: transversal slices via instantons on Ak-singularities.
[CG] N. Chriss and V. Ginzburg Representation Theory and Complex Geometry
[He] A. Henderson, Involutions on the affine Grassmannian and moduli spaces of principal bundles
[L1] I. Losev, http://school-tlag2017.math.cnrs.fr/Docs/exos_Losev.pdf
[L2] I. Losev, Finite $W$-algebras
[M] A. Maffei, Quiver varieties of type A.
[MV] I. Mirkovi\’c and M. Vybornov, Quiver varieties and Beilinson-Drinfeld Grassmannians of type A.
[N1] H. Nakajima, Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces.
[N2] H. Nakajima, Quiver varieties and Kac-Moody algebras.
[N3] H. Nakajima, Handsaw quiver varieties and finite W-algebras.
[Zhu] X. Zhu, An introduction to affine Grassmannians and the geometric Satake equivalence.
7. Топологическая теория струн
Куратор //Е.А. Зенкевич
Пререквизиты: A- и B-модели топологической струны: твистованные сигма-модели, интегрирование по метрикам на мировой поверхности. Пространства модулей голоморфных отображений. Теория Черна-Саймонса, вычисление статсуммы на сфере при помощи S матрицы.
Основные определения и утверждения без пояснений] Суперсимметричная сигма модель. Калиброванная двумерная линейная сигма-модель для торических многообразий. D-члены, ренормпоток, аномалии. Топологичский твист. Комплексные и Кэлеровы модули.
[MS главы 12-15]
Граничные условия в A и B топологических сигма-моделях. Лагранжевы подмногообразия. Когомологии суперзарядов для теории с границей.
[W, раздел 3].
Струнная теория поля открытых струн. Нулевые моды A-модели и теория Черна-Саймонса на Лагранжевом подмногообразии в T^*S^3. Нулевые моды B-модели и голоморфная теория Черна-Саймонса.
[W, раздел 4].
Коническая особенность. Ее разрешение и деформация. Геометрический переход как дуальность при больших N (соответствие между статсуммами)
[MS раздел 36.2] [GV3 раздел 2]
Лагранжевы подмногообразия в T^*S^3, соответствующие узлу в S^3 (конструкция конормального расслоения). Геометрический переход для средних от вильсоновских линий (для зацепления Хопфа).
[AKMV], [MS, раздел 36.2]
Геометрия торических многообразий Калаби-Яу. Фактор-пространство, вектора весов, многоугольник Ньютона, торическая диаграмма, торические многообразия как слоения T^2 x R (либо T^3) над R^3. 2-, 4-циклы, Лагранжевы подмногообразия, Кэлерова форма, голоморфная 3-форма, условие Калаби-Яу. (Примеры: разрешенная коническая особенность O(-1)+O(-1) -> P^1, локальное P^1 x P^1, локальное P^2, разрешенная A_n-сингулярность x C, орбифолды.)
[AKMV, раздел 2] [MS глава 7]
Вывод формулы для топологической вершины из теории Черна-Саймонса. (Связь топологических струн на локальном P^1 x P^1 и Некрасовской статсуммой для пятимерной SU(2) теории без матери)
[разделы 6-8 из [AKMV]]
(*) Инварианты Громова-Виттена. Число голоморфных отображений, проходящих через подмногообразия как интеграл по пространству модулей. Отображение вычисления, виртуальный фундаментальный класс, пси-класс. [MS глава 26]
Инварианты Гопакумара-Вафы. Компактификация теории струн типа IIA на многообразие Калаби-Яу. Теория в оставшихся четырех измерениях и ее связь с геометрией Калаби-Яу. Амплитуды теории IIA, вычислимые из теории топологических струн. BPS состояния в теории IIA и в M-теории. Струнная константа связи в M-теории. Эффект Швингера и статсумма BPS состояний.
[GV1] [MS глава 34]
(*) B-модель и теория Кодайры-Спенсера. Зеркально двойственные многообразия к трехмерным торическим многообразиям Калаби-Яу.
[ADKMV разделы 1-3]
Топологическая вершина в B-модели. Свободные фермионы, преобразование Боголюбова и W-условия.
[ADKMV разделы 5.9-5.11 и дополнение B]
Литература.
[MS] Mirror symmetry. (Clay Mathematics Monographs)
[AKMV] M.Aganagic, A.Klemm, M.Marino, C.Vafa. The Topological Vertex
[ADKMV] M.Aganagic, R.Dijkgraaf, A.Klemm, M.Marino, C.Vafa. Topological Strings and Integrable Hierarchies
[W] E. Witten. Chern-Simons Gauge Theory As A String Theory
[GV1] R.Gopakumar, C.Vafa. M-Theory and Topological Strings–I
[GV2] R.Gopakumar, C.Vafa. M-Theory and Topological Strings–II
[GV3] R.Gopakumar, C.Vafa. On the Gauge Theory/Geometry Correspondence
[GV4] R.Gopakumar, C.Vafa. Topological Gravity as Large N Topological Gauge Theory
8. Модель Изинга – II: конформная теория, интегрируемые деформации, уравнения Пенлеве
Кураторы // П.Г. Гавриленко, А.В. Литвинов
Пререквизиты: хоть раз в жизни видеть точное решение модели Изинга; основы конформной теории поля.
1. Точное решение модели Изинга (лучше в анизотропном пределе квантовой цепочки), решёточные поля \sigma, \mu, фермионы, оператор энергии, их свойства взаимной локальности. Дуальность Крамерса-Ванье.
[K] – раздел IV
[Z1] – лекции 1,2
[IL] – начало, если там написано понятнее
2. Конформная теория поля Изинга в критической точке, размерности операторов, структуры модулей алгебры Вирасоро над ними, операторные разложения, вырожденные векторы. Склеивание двух копий модели Изинга, интегралы движения в “удвоенной модели”.
[G] – разделы 5, 5.2, 6, 7.2
[FMS] – глава 12
[Z1] – лекции 3-5
3. Массивная модель Изинга как возмущение конформной теории поля оператором энергии, интегралы движения. Возмущение модели Изинга оператором спина, физическая картинка конфайнмента кинков при слабом магнитном поле. Нахождение количества первых интегралов движение из соображений размерностей пространств.
[Z1] – лекция 7
[Z2]
[Z3]
4. Возмущение модели Изинга оператором спина. Интегрируемые процессы рассеяния, кинематические ограничения на возможные интегралы движения (из рассмотрения процессов “слияния” частиц). Нахождение масс частиц, связь с алгеброй E_8. Явный вид некоторых элементов S-матрицы.
[Z2]
[Z3]
5. Матричные элементы (форм-факторы) оператора спина в массивной модели Изинга. Вычисление матричных элементов в свободнофермионных моделях вообще (обобщённая теорема Вика).
[BL] – аппендикс А
[Z1] – лекция 5, 6
[ZA] – раздел 2
[IL] – вся статья, но она для решёточной модели
6. Вывод уравнения Пенлеве для коррелятора двух спинов в модели Изинга
[Z1] – лекция 5 (здесь вывод без использования форм-факторов; другие два вывода подразумевают суммирование коррелятора в детерминант Фредгольма и вывод уравнений на него)
[BL] – можно смотреть только на случай Изинга
[L] – здесь и для плоскости, и для цилиндра
Литература
[K] John B. Kogut, An introduction to lattice gauge theory and spin systems.
[IL] N. Iorgov, O. Lisovyy. Ising correlations and elliptic determinants.
[G] Paul Ginsparg, Applied Conformal Field Theory.
[FMS] P.D. Francesco, P. Mathieu, D. Senechal. Conformal field theory.
[ZA] Alexander Alexandrov, Anton Zabrodin, Free fermions and tau-functions, https://arxiv.org/abs/1212.6049.
[Z1] A. Zamolodchikov, Ising Field Theory, https://www.weizmann.ac.il/complex/falkovich/courses
[Z2] A. B. Zamolodchikov, Integrable Field Theory from Conformal Field Theory
[Z3] A. B. Zamolodchikov, Integrals of Motion and S-Matrix of the (scaled) T = Tc Ising Model with Magnetic Field
[BL] D. Bernard, A. Leclair, Differential Equations for Sine-Gordon Correlation Functions at the Free Fermion Point, https://arxiv.org/abs/hep-th/9402144.
[L] O. Lisovyy, Nonlinear differential equations for the correlation functions of the 2D Ising model on the cylinder, https://arxiv.org/abs/hep-th/0108015
9. Двумерные сигма-модели
Кураторы // И.С. Вильковиский, А.В. Литвинов
Пререквизиты: Основы квантовой теории поля: теория возмущений, диаграммная техника, бета-функция в какой-то теории.
Общая сигма модель, вычисление Бета функции, уравнение потока Риччи, ассимптотическая свобода.
на примере O(N) сигма модели.
[PS] – раздел 13.3
[P1] – глава 8,
и для общей геометрии:
[Fd] Здесь нет хорошей ссылки, но если не получится сделать самостоятельно, можем обсудить.
Качественное поведение O(N) Сигма моделей, генерация массы в d=2, фазовый переход при d>2. Модель сосиски, и её качественное поведение под действием ренорм группы.
[P1] – глава 8
[LS] – лекция 5
[L] – глава 5, глава 13
Нарушение интегрируемости на квантовом уровне за счёт аномалий, объяснение почему для O(N) интегрируемость остаётся а для CP(N) нет, по статьям:
[P2]
[GW]
Теория рассеяния в интегрируемых теориях, точная S матрица, сравнение с теорией возмущений, все это на примере O(n) модели.
[LS] – главы 5-6
[ZZ]
[Z] – глава 8
Дуальность между О(3) моделью и моделью типа Тоды: 1) Сравнение S матрицы- Лагранжиан дуальной модели можно подсмотреть в лекциях Лукьянова, требуется показать в древесном приближении что S матрица дуальной модели совпадает с S матрицей О(3). 2) Дуальность можно видеть в теории возмущений, для этого нужно использовать интегральное тождество [FB]
[L] – глава 16
[FB] – формула (20)
Литература
[PS] М. Пескин, Д. Шрёдер. Введение в квантовую теорию поля.
[P1] А.М. Поляков. Калибровочные поля и струны.
[P2] A.M. Polyakov. Hidden symmetry of the two-dimensional chiral fields.
[LS] Лекции Лашкевича : http://homepages.itp.ac.ru/~lashkevi/lectures/2d-qft/
[Z] Zarembo Лекции на школе в Лез-Уше arXiv:1712.07725
[ZZ] Ал. Замолодчиков, А. Замолодчиков. Факторизованные S-матрицы в двух измерениях как точные решения некоторых релятивистских моделей квантовой теории поля (в сборнике “Инстантоны, струны и конформная теория поля”, стр. 111)
[GW] Goldschmidt, Y. Y., & Witten, E. (1980)
[FB] P. Baseilhac and V. A. Fateev,Expectation values of local fields for a two-parameter family of integrable models and related perturbed conformal field theories,Nucl. Phys.B532(1998)567–587, [hep-th/9906010]
[FD] Friedan, D. (1980). Nonlinear Models in2+εDimensions. Physical Review Letters, 45(13), 1057–1060
Friedan, D. H. (1985). Nonlinear models in 2 + ε dimensions. Annals of Physics, 163(2), 318–419
[L] Лекции Лукьянова на школе в Лез Уше, файл в папке с материалами
10. Стохастические вершинные модели и вероятность
Кураторы // А.М. Поволоцкий, М.Г. Матушко, А.А. Трофимова
Пререквизиты: базовые знания по теории вероятности, анализу, линейной алгебре и тфкп.
Стохастические вершинные модели. Вершинные веса. Уравнение Янга-Бакстера в координатном и операторном виде.
[1] главы 2, 3
Симметрические рациональные функции как статсумма по путям. Симметрические функции Шура и Холла-Литтлвуда. Основные свойства. Тождество Коши.
[1] глава 4
[3] главы 1.3, 1.4, 1.5, 3.1, 3.2, 3.4, 3.5
[4] глава 7
[5]
Вероятностная мера Шура. Процессы Шура и Марковские цепи.
[2] главы 5,6
Марковские ядра и стохастическая динамика. Вырождения в шестивершинную модель, ASEP, в q-бозонную систему.
[1] глава 6
Дуальность между системами q-TASEP и TAZRP. Производящие функции моментов в форме Лапласа. Формулы Меллина-Барнса и Коши для определителя Фредгольма.
[6]
Литература:
[1] Borodin A., Petrov L. Lectures on Integrable Probability: Stochastic Vertex Models and Symmetric Functions,(2016) //arXiv preprint arXiv:1605.01349.
[2] Borodin A., Gorin V. Lectures on integrable probability //Probability and statistical physics in St. Petersburg. – 2016. – Т. 91. – С. 155-214. arXiv:1212.3351
[3] Macdonald I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. – Oxford university press, 1998.
[4] Ричард Стенли: Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции
[5] Borodin A. On a family of symmetric rational functions //Advances in Mathematics. – 2017. – Т. 306. – С. 973-1018. arXiv:1410.0976
[6] Borodin, Alexei, Ivan Corwin, and Tomohiro Sasamoto. “From duality to determinants for q-TASEP and ASEP.” The Annals of Probability 42.6 (2014): 2314-2382. arXiv:1207.5035
Контактный адрес оргкомитета