Zoom / 30 апреля – 8 мая 2020 г.

1. Теория групп и атом водорода

Куратор / Игорь Шендерович

Аннотация
Классическая задача про движение в кулоновом поле является суперинтегрируемой (количество интегралов движения у неё равно количеству степеней свободы минус один). Можно показать, что в дополнение к обычной, “геометрической” симметрии O(3) она имеет также “скрытую” симметрию O(3). По-настоящему эта симметрия проявляется в квантовомеханической задаче (атом водорода), в которой как спектр, так и волновые функции можно найти с помощью теоретико-групповых методов.

Пререквизиты
Группа SU(2) и её алгебра Ли (базовые сведения), классическая механика (гамильтониан, скобки Пуассона, уравнения движения), основные понятия квантовой механики (уравнение Шрёдингера, связанные состояния, дискретный и непрерывный спектр), Ближе к концу понадобятся преобразование Фурье и комплексный анализ (понятие об аналитическом продолжении, вычисление интегралов по вычетам)

Программа
Классическая задача Кеплера и симметрия SO(4). Гамильтониан, уравнения движения. Построение вектора Рунге-Ленца, его свойства. Энергия орбиты. Скобки Пуассона, алгебра Ли группы SO(4).
[1] (*) Если будет время: обсуждение работы [2].
Квантовый случай, дискретный спектр (E<0). Коммутационные соотношения, нахождение спектра. Переход в пространство импульсов, сферические гармоники на 4D сфере. Действие группы SO(4).
[3, 5] Алгебраический подход: вычисление волновых функций с помощью неприводимых представлений SU(2), полиномы Лежандра, коэффициенты Клебша-Гордана. Группа SO(1,4).
[3, 5] Квантовый случай, непрерывный спектр (E>0). Координаты Фока, гиперболоиды. Основная серия унитарных представлений.
[4, 6] Аналитическое продолжение из области (E<0) (дискретный спектр) в область (E>0) (непрерывный спектр).
[4, 6]

Литература
= = [1] Переломов, Интегрируемые системы механики и алгебры Ли.
= = [2] Moser J., Regularization of kepler’s problem and the averaging method on a manifold, Comm. Pure Appl. Math., v23, p609, 1970.
= = [3] Bander, Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom I, Rev. Mod. Phys., vol. 38, no. 2, 1966. https://escholarship.org/uc/item/42q1m0t7
= = [4] Bander, Itzykson, Group Theory and the Hydrogen Atom II, Rev. Mod. Phys., vol. 38, no. 2, 1966. https://escholarship.org/uc/item/4ns2m34s
= = [5] В.А. Фок, Атом водорода и не-евклидова геометрия, Известия АН СССР, 1935, вып. 2, стр. 169-188. http://mi.mathnet.ru/izv4661
= = [6] A.M. Perelomov and V.S. Popov, The Lorentz Group as a Dynamic Symmetry Group of the Hydrogen Atom, JETP, vol. 23, n. 1, july 1966. http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/r/index/r/50/1/p179?a=list

2. “Инстантоны” (вихри и монополи) в фазовых переходах

Кураторы / Николай Семенякин, Владимир Лосяков

Аннотация
Фазовые переходы второго рода, сопровождающиеся нарушением симметрии, хорошо описываются в парадигме Ландау при помощи параметра порядка и некоторого функционала энергии, зависящего от него. Оказывается, что в системах с непрерывной симметрией иногда происходят фазовые переходы “бесконечного рода”, не сопровождающиеся явным нарушением симметрии, связанные с конденсацией топологических дефектов в теории. Такие фазовые переходы не описываются теорией Ландау. В этом курсе мы разберём, как устроены такие переходы на примерах фазового перехода Березинского – Костерлица – Таулеса в О(2) модели в двумерии и перехода конфайнмента в трёхмерной электродинамике.

Пререквизиты
фазовые переходы, распределение Гиббса, функция Грина для уравнения Лапласа, гауссовы интегралы.

Программа
Модель Изинга: вычисление свободной энергии в приближении среднего поля. Парадигма Ландау: параметр порядка и спонтанное нарушение симметрии. Фазовые переходы второго рода. (*) Критические экспоненты.
[P1] разделы 1.3, 3.1
[KPS] разделы 1 – 2
[G] разделы 2, 5
O(2)-модель в двумерии. Высокотемпературное и низкотемпературное разложение. Препятствие к нарушению непрерывной симметрии: теорема Мермина-Вагнера. Обходной манёвр: вихри и их конфайнмент. Оценка критической температуры. (*) Связь с моделью синус-Гордон.
[AS] раздел 8.6
[wwwL] лекция 1
[P1] разделы 1.3, 1.4, 3.2, 4.2
[G] раздел 11
Корреляционная функция в O(2) модели: поляризуемость плазмы свободных зарядов и диполей. Перенормировки параметров в O(2) модели. Фазовая диаграмма, корреляционная длина, критические экспоненты.
[AS] раздел 8.6
[KT] [K] Магнитные монополи как инстантоны в трехмерных (2+1) калибровочных теориях. SU(2) калибровочная теория со скалярным полем в присоединенном представлении и монопольное решение ‘т-Хоофта–Полякова.
[P1] раздел 4.3
[Ru] параграфы 9.1 – 9.4
[T1] разделы 2.1 – 2.2
[W] раздел 5.2 – 5.3
Конфайнмент в трехмерной электродинамике и монополи. Сравнение с O(2) моделью.
[P1] раздел 4.3
[P2] [T] разделы 8.1, 8.3

Литература
= = [AS] A. Altand, B. Simons. Condensed Matter Field Theory
= = [G] N. Goldenfeld. Lectures on phase transitions and the renormalization group
= = [KT] J.M. Kosterlitz, D.J. Thouless. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems
= = [K] J. M. Kosterlitz. The critical properties of the two-dimensional XY model
= = [KPS] P. Kopietz, L. Bartosch, F. Schutz. Introduction to the Functional Renormalization Group.
= = [wwwL] М. Лашкевич. Лекции по методам теории одномерных квантовых систем https://chair.itp.ac.ru/index.php?sub=curriculum/oned
= = [P1] А.М. Поляков. Калибровочные поля и струны
= = [P2] A. Polyakov. Quark confinement and topology of gauge fields.
= = [Ru] Рубаков. Классические калибровочные поля. Бозонные теории.
= = [T1] Tong, TASI Lectures on Solitons
= = [T2] Tong, лекция 8 из цикла Gauge theories
= = [W] E. Weinberg. Classical Solutions in Quantum Field Theory

3. Симметрические функции и бозон-фермионное соответствие

Кураторы / Сергей Хорошкин, Мария Матушко, Михаил Берштейн

Аннотация
Симметрические многочлены являются классическим объектом, в последние 50 лет они нашли большое число применений в теории представлений и математической физике. Очень многие свойства симметрических многочленов удобно понимать при помощи некоторых операторов, действующих на них. Замечательно, что пространство симметрических многочленов имеет два описания: одно – при помощи коммутирующих операторов (бозонов), другое – при помощи антикоммутирующих операторов (фермионов). Наличие таких двух описаний очень полезно, в физике оно носит название бозон-фермионного соответствия и возникает в двумерных теориях поля.

Пререквизиты:
Симметрические многочлены (знать и понимать доказательство основной теоремы). Желательно иметь некоторый опыт теории представлений (скажем, алгебры sl(2)). Желательно иметь некоторое знакомство с производящими функциями.

Программа
Разбиения, диаграммы Юнга. Симметрические многочлены, образующие. Симметрические функции. Образующие e_n, h_n, p_n формулы, выражающие одни через другие. Определение многочленов Шура, через альтернанты, формула Якоби-Труди.
[M] параграфы 1.1-1.3.
[S] параграфы 7.1-7.7
Косые многочлены Шура. Формула через полустандартные таблицы. Действие p_k. Формулы Пиери.
[M] параграфы 1.4, 1.5.
[S] параграфы 7.15-7.17
Фермионное пространство Фока, вакуумы. Диаграммы Мая и диаграммы Юнга, координаты Фробениуса. Действие алгебры gl_∞, действие алгебры Гейзенберга. Разложимые тензоры и полиномы Шура.
[DJM] главы 4-6
[AZ] [KR] лекции 4-5
Вертексные операторы, формулы для фермионных токов через бозоны. Матричные элементы “половин” вертексных операторов в базисе разложимых тензоров.
[DJM] главы 5-6
[AZ] [KR] лекция 6
Производящая функция двумерных диаграмм Юнга. Вычисление характера, тождество тройного произведения Якоби. Трехмерные диаграммы Юнга, плоские разбиения. Вычисление производящей функции трехмерных диаграмм Юнга при помощи вертексных операторов.
[ORV] (*) Групповые элемент, формула Вика. Билинейные уравнения на тау-функции.
[AZ]

Литература
= = [AZ] Alexandrov, Zabrodin. Free fermions and tau-functions https://arxiv.org/abs/1212.6049
= = [DJM] Дате, Джимбо, Мива. Солитоны. дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры
= = [KR] Кац, Райна. Бомбейские лекции
= = [M] Макдональд. Симметрические функции и полиномы Холла
= = [OVR] Okounkov, Vafa, Reshetikhin. Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals https://arxiv.org/abs/hep-th/0309208
= = [S] Стенли, Перечислительная комбинаторика, 2 том

4. Гамильтонова редукция: примеры

Кураторы / Михаил Берштейн, Иван Сечин

Аннотация
Гамильтонова редукция является одной из основных конструкций симплектической геометрии. Она имеет огромное число применений. Во-первых, она позволяет строить новые симплектические многообразия. Алгебраически это дает конструкции интересных пуассоновых алгебр, или, после квантования, некоммутативных алгебр. Во-вторых, часто на многообразиях, получающихся таким образом, возникают замечательные интегрируемые системы.
В рамках данной темы мы сначала обсудим определение редукции, а потом разберем несколько примеров: интегрируемые системы Тоды, Калоджера и алгебру Вирасоро.

Пререквизиты:
гамильтонова механика (гамильтонианы, скобки Пуассона), гладкие многообразия (желательно знать, что такое касательное расслоение, дифференциальные формы на многообразиях), группы и алгебры Ли (не бояться этих слов, знать примеры матричных групп, компактных групп, нильпотентных групп).

Программа
1. Симплектические многообразия. Примеры симплектических многообразий: кокасательное расслоение к многообразию и орбита коприсоединенного действия группы Ли. Гамильтоновы векторные поля, примеры их вычисления.
[L] лекции 1, 2
2. Гамильтоновы действия групп Ли на симплектических многообразиях. Отображение моментов. Примеры: коприсоединенные орбиты, кокасательное расслоение, действие группы на векторном пространстве. Гамильтонова редукция.
[L] лекции 3, 4
(*) Критерии гамильтоновости симплектического действия группы.
[L] лекция 4
3. Кокасательное пространство к группе, два отображения моментов, связь между ними. Пример гамильтоновой редукции: открытая цепочка Тоды (может быть, еще и релятивистская открытая цепочка Тоды).
[Ar] параграф 2.1.3
[P] глава 4
[F] 4. Пример гамильтоновой редукции: рациональная и тригонометрическая системы Калоджеро, рациональная система Руйсенаарса. (*) Самодуальность рациональной системы Калоджеро. Дуальность между тригонометрической системой Калоджеро и рациональной системой Руйсенаарса.
[Ar] параграф 2.2.1
[E1] лекции 1, 2
[F] [OP] section 9
5. Квантовая гамильтонова редукция. Волновые функции Тоды как матричные элементы между векторами Уиттекера. Волновые функции Калоджера как матричные элементы между сферическими функциями.
[E1] лекции 4,5
[E2] 6. Редукция Дринфельда-Соколова как пример бесконечномерной гамильтоновой редукции. Скобка Вирасоро, преобразование Миуры. (*) Обобщение на W-алгебры.
[B] [D] section 9.4.

Литература
= = [A] Арнольд. Математические методы классической механики.
= = [AG] Арнольд, Гивенталь. Симплектическая геометрия.
= = [Ar] Arutyunov Elements of Classical and Quantum Integrable Systems
= = [B] Белавин. Уравнения типа КдФ и W-алгебры.
= = [BBT] Babelon, Bernard, Talon. Introduction to Classical Integrable Systems.
= = [D] Dickey. Soliton Equations and Hamiltonian Systems.
= = [E1] Etingof. Lectures on Calogero–Moser systems. arxiv:math/0606233
= = [E2] Etingof. Whittaker functions on quantum groups and q-deformed Toda operators arxiv:math/9901053
= = [F] Fehér. Статьи по гамильтоновой редукции.
= = [L] И. Лосев. Лекции в НМУ по отображению моментов [https://www.mccme.ru/ium/f05/momentum.html]
= = [OP] Olshanetsky, Perelomov. Classical Integrable Finite-Dimensional Systems Related to Lie Algebras
= = [P] Переломов. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли.

5. Разделение переменных на примере цепочки Тоды

Кураторы / Сергей Деркачёв, Андрей Ляшик

Аннотация
Квантовый метод разделения переменных — один из самых плодотворных методов решения квантовых интегрируемых моделей. Он применим во многих случаях наравне с другими методами, а иногда работает только он. Он обладает целым рядом преимуществ, в частности, в рамках этого подхода можно явно получить сохраняющиеся величины, строить полный базис пространства решений. В рамках курса мы изучим, как его использовать для решения квантовой цепочки Тоды и какие структуры возникают при таком решении.

Пререквизиты
квантовая механика (осциллятор, спина, различные представления волновых функций); понимать о представлениях алгебры sl(2); очень поможет понятие классической интегрируемости (интегрируемость по Лиувиллю, пара Лакса); много раз видеть преобразование Фурье и хоть раз видеть преобразования Меллина и Барнса; хорошо бы еще понимать, что такое спиновые цепочки и как они связаны с решениями уравнения Янга-Бакстера.

Программа
1. Основные формулы для квантовой цепочки Тоды – гамильтонианы, операторы Лакса и монодромии. Уравнение Янга-Бакстера и интегрируемость.
[1] [2] 2. Разделение переменных для Тоды. (Сместив акценты по сравнению с [2]. просто как в обычной квантовой механике – переход в другое представление и объяснение, почему там хорошо и чем все это удобно).
[2] 3. Явное построение оператора перехода в новую картину. Итерационная процедура Подход Харчева-Лебедева дающая интегральное ядро оператора перехода в виде интеграла Меллина-Барнса. (Разбирать сначала случаи 2-3 узлов, а только потом общие формулы)
[3] 4. Явное построение оператора перехода в новую картину. Подход Силантьева: аналог итерационной процедуры для XXX-спиновой цепочки и интегралы Гаусса-Гивенталя. (Разбирать сначала случаи 2-3 узлов, а только потом общие формулы)
[4] Доказательство эквивалентности представлений Меллина-Барнса и Гаусса-Гивенталя.
[7], appendix B.
5. Конструкция тех же самых интегралов при помощи теории представлений SL(N,R): Векторы Уиттекера и т.д.
[5] [6] [8] [9]
Литература
= = [1] Годен Волновая функция Бете
= = [2] E.K. Sklyanin The Quantum Toda Chain
= = [3] S. Kharchev and D. Lebedev, Integral representation for the eigenfunctions of quantum periodic Toda chain https://arxiv.org/abs/hep-th/0007040,
= = S. Kharchev and D. Lebedev, Eigenfunctions of GL(N, R) Toda chain: The Mellin-Barnes representation https://arxiv.org/abs/hep-th/0004065,
= = [4] А. В. Силантьев, Функция перехода для цепочки Тоды http://mi.mathnet.ru/tmf5985
= = [5] Michael Semenov-Tian-Shansky Quantum Toda Lattice: a Challenge for Representation Theory https://arxiv.org/abs/1912.13268
= = [6] S. Kharchev, S. Khoroshkin Mellin-Barnes presentations for Whittaker wave functions https://arxiv.org/abs/1907.00637
= = [7] K. K. Kozlowski Unitarity of the SoV transform for the Toda chain https://arxiv.org/abs/1306.4967
= = [8] V. Pasquier and M. Gaudin M, The periodic Toda chain and a matrix generalization of the Bessel function recursion relations,
= = [9] E. K. Sklyanin Baecklund transformations and Baxter’s Q-operator https://arxiv.org/abs/nlin/0009009

6. Анионы

Кураторы / Илья Вильковиский, Николай Семенякин

Аннотация
Наивный низкоэнергетический предел теории с массовой щелью m должен описываться набором невзаимодействующих частиц, так как все взаимодействия подавлены на масштабе порядка 1/m. Оказывается, что это не всегда так: в некоторых теориях низкоэнергетический сектор описывается частицами, волновые функции которых имеют нетривиальные (иногда неабелевы) монодромии при обносе одной частицы вокруг другой. Такие нелокально взаимодействующие частицы называют анионами. Впервые они были предложены для описания квантового эффекта Холла.
В рамках курса будет рассмотрено несколько моделей, в которых возникновение анионов можно проследить “явно”: в торическом коде Китаева мы увидим абелевы анионы, а в квантовом спиновом стекле Китаева получим наличие неабелевых анионов “из первопринципов”.

Пререквизиты
Свободные фермионы на решётке, классическая электродинамика.

Программа
1. Квантовое спиновое стекло Китаева – “точное решение”, магнитное поле, вихри. Фаза А: абелевы анионы и модель Китаевского торического кода.
[K1] разделы 1 – 5
[K2] [Wen] раздел 6.9
[wwwT] раздел “Topological order and the toric code”
2. Фаза B: физика, операторная алгебра, вывод правил слияния. Условия согласованности алгебраической структуры.
[K1] разделы 6 – 10
[T] раздел 4.3

Литература:
= = [K1] A. Kitaev. Anyons in an exactly solved model and beyond
= = [K2] A. Kitaev. Fault-tolerant quantum computation by anyons
= = [T] D. Tong. The Quantum Hall Effect.
[wwwT] https://topocondmat.org/
= = [Wen] B. Zeng, X. Chen, D.-L. Zhou, X.-G. Wen Quantum Information Meets Quantum Matter

7. Базисы Гельфанда–Цетлина

Кураторы / Леонид Рыбников, Евгений Македонский

Аннотация
Базисы Гельфанда-Цетлина являются классическим объектом теории представлений. В рамках данной темы мы обсудим их определение и основные свойства для типа A, c уклоном в янгинаны (централизаторная конструкция). Последние пункты плана являются дополнительными, что из этого будет обсуждаться, зависит от пожеланий участников.

Пререквизиты
Универсальные обертывающие алгебры для алгебр Ли, теорема Пуанкаре–Биркгоф–Витта. Параметризация представлений простых алгебр Ли (хотя бы gl(n)) при помощи старших весов.

Программа
1. Центр универсальной обертывающей алгебры gl(n) (из основной теоремы теории инвариантов). Гомоморфизм Хариш–Чандры.
[M1] параграф 7.1
2. Характеры модулей Верма, неприводимых представлений GL(n) (полиномы Шура). Правило ветвления с GL(n) на GL(n-1) (из характров). Определение базисов Гельфанда-Цетлина, таблицы Гельфанда-Цетлина. Формула МакМагона.
[GW] параграф 8.3.1 – ветвление конечномерных представлений из характеров.
[M2] Глава 2, начало.
3. Напоминание про теорему о двойном централизаторе. Централизаторная подалгебра для GL_n ⊃GL_n-m и янгиан.
[M1] параграфы 8.1-8.4
4. Представления янгиана: полином Дринфельда. Классификация неприводимых конечномерных представлений янгиана Y(gl(2)). Вывод ветвления из представлений Y(gl(2)).
[M1] параграфы 3.1-3.3
5. Явные формулы для представления gl(n) в базисе Гельфанда–Цетлина.
[M1] Глава 5.
6. (*) Конечномерные представления янгиана.
[M1] параграф 8.5

Литература
(Литература довольно условная, предполагается, что куратор пришлет вам необходимую информацию).
= = [M1] А. Молев Янгианы и классические алгебры Ли
= = [M2] A. Molev Gelfand–Tsetlin bases for classical Lie algebras https://arxiv.org/abs/math/0211289
= = [GW] Goodman Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants
= = [FFFR] Feigin, Finkelberg, Frenkel, Rybnikov, Gelfand-Tsetlin algebras and cohomology rings of Laumon spaces

8. Термодинамический Бете анзац

Кураторы / Илья Вильковиский, Алексей Литвинов

Аннотация
Термодинамический Бете анзац – это метод, позволяющий свести вычисление энергии основного состояния системы к решению системы нелинейных интегральных уравнений (уравнений ТБА). Мы продемонстрируем, как это работает на примере модели SIn-Gordon, и попытаемся ответить на вопрос: что будет, если в уравнение ТБА подставить “произвольную” S-матрицу, удовлетворяющую аксиомам рассеяния. С одной стороны, такая S матрица может быть сгенерирована (старшими) потоками, с другой, большинство “произвольных” S матриц приводят к сингулярностям в энергии основного состояния.

Пререквизиты:
КТП, диаграммы Фейнмана, перенормировки. Понятие о матрице рассеяния в интегрируемых теориях: факторизация рассеяния, отсутствие рождения частиц.

Программа
1. Обсуждение спектра интегрируемой теории в большом (по сравнению с массой) объеме, вывод уравнений Термодинамического Анзаца Бете (ТБА), пример модели Тирринга: анализ уравнения ТБА в пределе большого объема в присутствии магнитного потока – с одной стороны уравнения ТБА можно решать рекурсивно и это даёт разложение фурье по потоку (с экспоненциально подавленными по длине коэффициентами), с другой стороны самая первая фурье гармоника cos(Ф) не содержит информации о многочастичных состояниях и должна совпадать с вычислением свободной теории.
[Al.B.Zam 1990] , разделы 1,2
2. Высокоэнергетический предел уравнений ТБА, сравнение с конформной теории возмущений на примере модели Sine-Gordon. Со стороны конформной теории, объяснить про разложение свободной энергии в терминах кулоновских интегралов, обсуждение перенормировок. Со стороны ТБА : напомнить про спектр частиц SG, связь с моделью Тирринга, выписать (без вывода) формулы для S матрицы, объяснить структуру полюсов. Получить точное вычисление для перенормировки массы.
[Al.B.Zam 1994]
3. (*) T Ť деформация произвольной релятивистской теории в 1+1, определение старших T_s Ť_s деформаций для интегрируемых теорий. Модификация S матрицы при такой деформации. Объяснить, что одновременным включением всех потоков можно генерировать произвольные CDD факторы. Вывести уравнение Бюргерса для первого T Ť, объяснить про сингулярность на малых масштабах (по длине).
[A.B.Zam,S 2016] [Tateo] [F,M] – секция 2
4. JT гравитация
4.1 T Ť деформация как каплинг с JT гравитацией, сравнение S матриц. Пертурбативные вычисление (глава 2.2 статьи DGM). Аргумент динамической системы координат (глава 2.1 DGM).
[DGM]
4.2 Спектр для CFT, закапленой с JT гравитацией (глава 4 DGM и главы 2-3 DGC). Нужно уметь хорошо объяснить про формализм первого порядка в гравитации и аккуратно свести действие гравитации к формуле 4.1 из DGM.
[DGM] [DGC]
5. (*) Численное решение ТБА, В чём разница между “хорошими CDD факторами” и плохими. Если повезёт – увидеть загиб. [Al.B.Zam 1990]
Литература
[Al.B.Zam 1990] Thermodynamic Bethe ansatz in relativistic models: scaling in 3-state pots and Lee-Yang models, Nuclear Physics B342 (1990) 695—720
[Al.B.Zam 1994] Mass scale in Sine-Gordon model and its reductions.
[A.B.Zam, S 2016] arxiv:1608.05499
[DGM] arxiv:1706.06604
[DGC] arxiv:1805.07386
[Tateo] arxiv:1608.05534
[F,M] – arxiv:1907.02516

9. Локализационное вычисление инстантонных статистических сумм

Куратор / Павел Гавриленко

Аннотация:
Теория Зайберга-Виттена, или N=2 четырёхмерная суперсимметричная калибровочная теория, является одним из примеров нетривиальных теорий, в которых удаётся найти точное описание низкоэнергетической физики, а именно, вычислить препотенциал. Впервые это было сделано в статье Зайберга-Виттена достаточно непрямым образом. Мы собираемся изучать более поздний подход Некрасова к теории Зайберга-Виттена, заключающийся в явном вычислении инстантонной статсуммы в нетривиальном фоновом пространстве с помощью локализации. Для этого нужно разобраться с тем, как применяется локализация в этой теории, как устроено пространство модулей инстантонов, на которое высаживается функциональный интеграл, и как происходит интегрирование по этому пространству модулей. В качестве конечной цели предполагается вывод препотенциала Зайберга-Виттена из локализационного вычисления.

Пререквизиты:
N=1 суперсимметрия, БПСТ инстантон, видеть хоть раз в жизни N=2 суперсимметрию и локализационное вычисление.

Программа
1. Лагранжиан N=2 супер Янг-Миллса, преобразования суперсимметрии, R-симметрия (напоминание без вывода). Топологический твист и перезапись лагранжиана после твиста. Некрасовская ε-деформация. Запись действия N=2 супер Янг-Миллса в виде Q-точного и топологического слагаемых
[Sha]
2. Общий принцип локализационного вычисления. Конечномерный пример: формула Дюстермата-Хекмана. Уравнения самодуальности как уравнения на неподвижные точки
[Sha] [Bel1,2]
3. АДХМ
3.1 Описание пространства модулей самодуальных решений: подсчёт размерности из теоремы об индексе. Переписывание уравнений самодуальности в комплексных координатах (начало АДХМ конструкции). Проекция C³ → S⁴ и переписывание уравнений самодуальности в координатах на C³.
[Bel1,2] [At]
3.2 Построение голоморфного расслоения на C³ как подрасслоения в тривиальном. Вычисление связности в нём. Условия на то, что эта связность проектируется на S⁴. Итогом должно стать получение АДХМ уравнения [ B₁,B₂ ] + IJ = 0.
[Bel1,2] [At]
4. Нулевые моды фермионов как формы на АДХМ пространстве. Разбирательство с тем, как оператор Q действует на АДХМ данных, явное получение соответствующего векторного поля.
[Sha] [Bel1,2] [N]
5. Описание неподвижных точек векторного поля наборами диаграмм Юнга, вклады от этих точек.
[Sha] [Bel1,2]
Литература:
= = [Bel1] Листки Белавина https://ium.mccme.ru/f14/f14-belavin.html
= = [Bel2] Записки Белавина https://drive.google.com/drive/folders/1Jp3DTpXyQrFtkJeU1ib4MCDUaadbgwYi
= = [Sha] Диссертация Шадчина https://arxiv.org/abs/hep-th/0502180
= = [N] Некрасов https://arxiv.org/abs/hep-th/0206161
= = [NO] Некрасов-Окуньков https://arxiv.org/abs/hep-th/0306238
= = [NS] Некрасов-Шадчин https://arxiv.org/abs/hep-th/0404225
= = [Nqq] Некрасов о qq-характерах https://arxiv.org/abs/1512.05388
= = [NP] Некрасов-Пестун https://arxiv.org/abs/1211.2240
= = [At] Атья, Геометрия и физика узлов (дополнение)

Также для заполнения пробелов в пререквизитах можно посмотреть лекции Алексея Юнга по N=1 суперсимметричным калибровочным теориям https://www.youtube.com/playlist?list=PLLGkFbxve671KnoxbIn8FfXG1nyZDzY3x и доклады на семинаре о Зайберге-Виттене https://www.youtube.com/playlist?list=PLLGkFbxve670pVFdePaO-Ab96mp_ioqOk

10. Теория Дональдсона-Томаса и локализация

Куратор / Егор Зенкевич

Программа
Пучки, K-теория, эквивариантная K-теория. Разрешения. Когерентные пучки и векторные расслоения. Пулл-бэк и пуш-форвард.
Пучки идеалов на трехмерном многообразии Калаби-Яу. Пространства модулей Дональдсона-Томаса. Представление пространства модулей как пространства модулей представлений колчана с потенциалом. Виртуальный структурный пучок над пространством модулей.
Локализация на пространстве модулей. Вычисление на C ³, формула Некрасова. Предел к рафинированной статсумме топологических струн, интерпретация с помощью трансфер-матрицы в этом пределе.
Колчаны, многообразия Накаджимы, гиперкэлерова редукция. Квазиотображения. Стабильность. Пространства модулей Пандхарипанде-Томаса

Литература
= = [1] A. Okounkov, Lectures on K-theoretic computations in enumerative geometry https://arxiv.org/abs/1512.07363

Контактный адрес оргкомитета