Совместный проект ПостНауки и Сколтеха

ПостНаука — это интернет-журнал о современной фундаментальной науке и учёных, которые её создают, о популяризации научных знаний. Научные теории и идеи не пересказываются — ученым предоставляется возможность говорить о своих исследованиях от первого лица. Все авторы ПостНауки — эксперты в своей научной области. Одно из проектов ПостНауки – запись авторских циклов 10-15-минутных видео-лекций, сопровождающихся текстами, списками литературы, тезаурусом.

Курс “Современная математическая физика” был снят ПостНаукой совместно с Центром перспективных исследований Сколтеха и посвящен некоторым актуальным физическим моделям и математическим методам.

Руководитель магистерской программы “Математическая физика” Сколтеха

Игорь Кричевер о теоретической физике, подготовке исследователей и принципах преподавания математической физики.
Математическая физика — ядро магистерской программы нашего Центра перспективных исследований в Сколтехе. Современное понимание того, что скрывается за этим названием, сильно отличается от того, что когда-то называлось математической физикой.
О математической физике как области науки
Дать краткое и всеобъемлющее определение предмета исследований математической физики трудно, а в силу ее динамичности и просто невозможно. Развитие физики ― в первую очередь физики высоких энергий в конце прошлого века ― потребовало для решения стоящих задач использования аппарата таких нетрадиционных областей математики, как алгебраическая геометрия, симплектическая геометрия, топология и даже теория категорий ― одна из, казалось бы, наиболее абстрактных областей математики. При этом теоретическая физика не только “использовала” новейшие математические теории ― она привнесла во многие разделы чистой математики “физическую интуицию” и методы теоретической физики.
Об образовательной программе
Наша магистерская программа по математической физике — это попытка создать среду, в которой студенты с самых первых шагов обучаются одновременно двум языкам. Насколько мне известно, за рубежом таких программ нет. В России есть такая программа — на факультете математики Высшей школы экономики. Но конкуренции между этими программами нет ― скорее, они дополняют друг друга. Организационно обе программы объединены соглашением между Сколтехом и ВШЭ как единая образовательная программа.”
[ полный текст – на сайте ПостНауки ]

	Андрей Маршаков о калибровочных полях, дуальных описаниях явлений и суперсимметричных калибровочных теориях. “Я бы хотел поговорить о двух направлениях, которыми мы, в частности, занимаемся в Центре перспективных исследований Сколтеха. И если очень грубо и кратко, то назвать это нужно буквально парой слов: калибровочные конформные теории. Но любая такая краткость всегда нуждается в уточнении. К слову «калибровочные» почти наверняка надо добавить «четырехмерные», то есть теории, живущие в нашем реальном пространстве-времени. И наверное, слово «суперсимметричные» тоже довольно важное (скажу позже почему). А к словам «конформные теории», напротив, надо добавить слово «двумерные» — двумерные конформные теории поля.Вообще говоря, это две области, которые появились независимо и испытали несколько этапов бурного развития ― по крайней мере, с 1970-х годов. Их появление и успешное развитие во многом было связано как с определенными физическими запросами, так и с развитием связи между теоретической физикой и математикой. Калибровочными полями описывается взаимодействие всех ныне известных элементарных частиц — все взаимодействия, кроме гравитационного.” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]
	Михаил Берштейн о модели Изинга, теории струн и двумерных многообразиях. “Я расскажу о двумерной конформной теории поля и ее связях с другими областями. Поскольку у нас нет формул и картинок, я буду концентрироваться на ключевых словах и взаимоотношениях между этими ключевыми понятиями. Этих связей довольно много, я постараюсь упомянуть значительную их часть. Но хорошая новость в том, что они в некотором смысле относятся к разным направлениям, и поэтому, если какая-то нить осталась непонятной, это не беда. Это не помешает понять следующую связь.Двумерная конформная теория поля возникла в 1970-е годы. Стоит начать с двух физических причин, физических теорий, из которых она произошла. Первая из них ― это фазовые переходы в двумерных статистических моделях. Здесь архетипический пример ― это так называемая модель Изинга.” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]
	Евгений Фейгин о применениях групп Ли, дифференциальной геометрии и касательных пространствах. “Понятие симметрии встречается в самых разных областях математики, физики, химии. Идея заключается в том, что при изучении того или иного объекта вы интересуетесь не только им самим, не только его отдельными элементами, его точками, его подмножествами, но и тем, как он преобразуется при каких-то движениях, вращениях, отражениях. Это значит, что вы смотрите, куда эти точки переходят, что с ними происходит и можно ли как-то описать те преобразования, относительно которых данный объект неподвижен. Собственно, давайте я приведу несколько примеров, чтобы было понятно, о чем идет речь. Я буду говорить в основном про математику, немного про физику. Скажем, если у вас есть прямая (множество действительных чисел), то у нее есть точка 0. Вы можете взять число и поставить к нему знак минус. Оно, соответственно, отразится от нуля, и у вас возникнет симметрия этой вещественной прямой, которая просто схлопывает точку X и точку −X.” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]
	Максим Казарян о римановых пространствах, гауссовой кривизне и фробениусовых многообразиях. “Я расскажу про дифференциальную геометрию. Это классический предмет, но, с другой стороны, это современный язык математической физики. Чтобы понять, что это такое, давайте начнем с римановых многообразий, которые являются одним из основных объектов дифференциальной геометрии. Риманово многообразие ― это многообразие или многомерное пространство, в котором есть дополнительная структура ― квадратичная форма или скалярное произведение в каждой точке. И это позволяет проводить на нем измерения: измерять длины кривых, углов и все, что мы умеем делать в евклидовом пространстве, но только при условии, что само пространство не является евклидовым. Простейшим таким примером, источником многих примеров служит поверхность, погруженная в трехмерное пространство. Если мы находимся на поверхности, то, двигаясь вдоль нее, мы можем измерять длины кривых, углы, длины векторов, площади, но при этом нам вовсе не нужно помнить о том, что мы находимся в объемлющем пространстве, ведь если мы движемся на кривой, то мы все это можем восстановить.” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]
	Александра Скрипченко о биллиарде как динамической системе, рациональных углах и теореме Пуанкаре. “Если мы посмотрим в “Википедии”, что такое динамические системы, то найдем там очень расплывчатое определение. Речь идет о том, что у нас есть некоторый объект, который живет в каком-нибудь понятном геометрическом пространстве (можете себе представлять, например, обычное наше пространство ― трехмерное евклидово). И про этот объект мы знаем, что с ним происходит с течением времени. То есть мы знаем закон изменения, движения каждой его точки. На самом деле с таким определением очень неудобно работать: оно на редкость ненаглядное и при этом не дает нам представления о том, что динамические системы ― это очень естественная вещь. Например, когда вы открываете воду из крана, смотрите, как она льется, это как раз классическая динамическая система. У вас вода состоит из какого-то огромного количества точек, и вы про каждую точку хотите знать, где она будет в момент времени t1, в момент времени t2 и так далее. Итак, с таким определением работать очень трудно. C другой стороны, вопросы, над которыми люди, занимающиеся динамикой, крайне естественны. Что нас интересует? ” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]
	Михаил Финкельберг об автоморфных функциях, теории чисел и зарождении геометрической теории представлений. “Израиль Моисеевич Гельфанд, один из главных героев теории представлений XX века, говорил, что в математике есть три основных источника задач: физика, геометрия и арифметика (теория чисел). Теория представлений родилась около 1900 года из задачи теории чисел. Дирихле, современник Римана, доказал знаменитую теорему о простых числах в арифметической прогрессии: если первый член и шаг прогрессии взаимно просты, то в ней встречаются простые числа. Для доказательства он использовал комплексный анализ, примененный к модификации дзета-функции Римана, ― L-функции Дирихле. Эти функции строятся по характерам абелевой группы Галуа кругового расширения поля рациональных чисел, изучается их асимптотика в единице, а потом еще применяется гармонический анализ (преобразование Фурье) на этой конечной абелевой группе. Потом Дедекинд, ученик Дирихле, хотел подобным образом изучать более сложные расширения поля рациональных чисел, с неабелевой группой Галуа. Для этого требовалось понятие характера неабелевой группы (Галуа), и Дедекинд дал своему ученику Фробениусу задание разработать теорию таких характеров. И Фробениус эту задачу решил.” [ полный текст – на сайте ПостНауки ]