теоретический минимум

математическая физика

Математика

  • Производные и интегралы (умение дифференцировать и интегрировать);
  • Линейная алгебра: векторные пространства, прямые суммы, тензорные произведения, факторпространства. Системы линейных уравнений и матрицы. Диагонализация матриц, нахождение собственных значений;
  • Векторный анализ: векторные и тензорные поля, градиент, дивергенция, ротор.
  • Многомерные интегралы. Формула Стокса;
  • Понятие об обобщенных функциях. Дельта-функция и ее основные свойства.
  • Обыкновенные дифференциальные уравнения (знание стандартных методов решения).
  • Уравнения в частных производных. Замены переменных. Методы решения: метод характеристик, разделение переменных, преобразование Фурье (для линейных уравнений).
  • Уравнения математической физики (Лапласа, теплопроводности, волновое уравнение, Клейна-Гордона,…). Метод функций Грина. Распространение волн в 1, 2 и 3 измерениях. Краевые задачи для оператора Лапласа.
  • ТФКП: голоморфные и мероморфные функции, формула Коши, интегралы типа Коши, формулы Сохоцкого, вычисления интегралов с помощью вычетов, основные свойства и примеры конформных отображений, римановы поверхности функций.
  • Асимптотические методы вычисления интегралов: стационарной фазы, метод Лапласа, метод перевала.
  • Гипергеометрическое уравнение, его особенности и поведение решений вблизи особенностей. Вырождения гипергеометрических функций.
  • Эллиптические интегралы. Определение и основные свойства эллиптических функций.
  • Основы теории групп: нормальные подгруппы, гомоморфизмы, симметрические группы, представления конечных групп.
  • Понятие о группах и алгебрах Ли, группа вращений и SU(2), их конечномерные представления.
  • Основные понятия дифференциальной геометрии: криволинейные координаты, метрика, геодезические, символы Кристоффеля, тензор кривизны.
  • Дифференциальные формы, их интегрирование, дифференциал де Рама, определение когомологии де Рама.
  • Гиперболическая геометрия (геометрия Лобачевского) и ее основные модели. Пространства де-Ситтера и анти-де-Ситтера.
  • Определение гомотопических групп и групп гомологий, простейшие примеры.
  • Функциональный анализ: интеграл Лебега, банаховы пространства, гильбертово пространство, унитарные и самосопряженные операторы, спектральная теорема для ограниченных самосопряженных операторов.
  • Теория вероятностей: случайные величины, их распределения, моменты, характеристические функции, неравенство Чебышева, закон больших чисел, центральная предельная теорема.

Механика и гидродинамика

  • Лагранжева механика: функция Лагранжа, уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Симметрии и законы сохранения. Интегрирование одномерного движения в потенциале. Движение в центрально-симметричном поле и задача Кеплера.
  • Гамильтонова механика: преобразование Лежандра, функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона, скобка Пуассона. Интегралы движения. Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби.
  • Вращение твердого тела: уравнения Эйлера, интегралы движения.
  • Основные принципы и понятия гидродинамики: уравнение неразрывности, уравнение движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера), описание вязких жидкостей, уравнение Навье-Стокса.
  • Основные понятия СТО. Принцип относительности. Пространство Минковского. 4-векторы, преобразования Лоренца. Релятивистская кинематика. Действие для релятивистской частицы. Законы сохранения энергии и импульса в СТО.

Классическая теория поля и гравитация

  • Классическая теория поля. Теорема Нетер и сохраняющиеся токи. Тензор энергии-импульса скалярного поля. Свободные и взаимодействующие поля. Представление свободного поля в виде системы осцилляторов.
  • Классическая релятивистская электродинамика: калибровочно-инвариантное действие и уравнения Максвелла. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Электромагнитные волны.
  • Примеры классических теориий поля: Гинзбурга-Ландау, Лиувилля и синус-Гордона (в двух измерениях).
  • Простейшие солитонные решения нелинейных уравнений в частных производных.
  • Гравитационное поле в релятивистской механике. Принцип эквивалентности. Системы отсчета в ОТО. Релятивистская частица в гравитационном поле. Предельный переход к ньютоновской теории гравитации.
  • Действие для гравитационного поля. Уравнения Эйнштейна.
  • Центрально-симметричное гравитационное поле. Решение Шварцшильда.Черные дыры. Горизонт событий.

Квантовая механика

  • Основные понятия квантовой механики: пространство состояний, принцип суперпозиции, измерение, вероятностная интерпретация, волновая функция, оператор Гамильтона, энергетический спектр, операторы импульса и координаты, соотношение неопределенности. Интерпретация квантовой механики с помощью интеграла по траекториям (по Фейнману).
  • Уравнение Шредингера и его основные свойства. Решение уравнения Шредингера в одном измерении. Дискретный и непрерывный спектр. Нахождение уровней энергии частицы в потенциальной яме (простые примеры). Рассеяние, нахождение коэффициента отражения (простые прмеры). Безотражательные потенциалы.
  • Гармонический осциллятор. Нахождение спектра и собственных функций гамильтониана различными методами. Операторы рождения и уничтожения. Когерентные состояния.
  • Движение в центрально-симметричном поле. Движение в кулоновом поле. Разделение переменных в задаче двух тел. Атом водорода.
  • Предельный переход к классической механике. Квазиклассическое приближение.
  • Прохождение через потенциальный барьер (туннельный эффект). Правило квантования Бора-Зоммерфельда.
  • Основные приемы теории возмущений. Секулярное уравнение.
  • Уравнение Шредингера в магнитном поле. Уровни энергии заряженной частицы в однородном магнитном поле (уровни Ландау).
  • Момент импульса. Сложение моментов и связь с теорией представлений группы вращений.
  • Понятие спина. Связь с теорией представлений группы SU(2). Матрицы Паули.
  • Принцип неразличимости (тождественности) одинаковых частиц. Понятие вторичного квантования. Статистики Бозе и Ферми.

Статистическая физика

  • Основные понятия теории вероятностей и теории случайных процессов: статистическое распределение, статистическая независимость и корреляции, среднее значение, дисперсия. Гауссово распределение. Распределение Пуассона.
  • Микроканонический, канонический и большой канонический ансамбли. Статистическая сумма.
  • Большое каноническое распределение (с переменным числом частиц) и большая статистическая сумма.
  • Понятия энтропии и температуры в статистической термодинамике. Свободная энергия и термодинамические потенциалы.
  • Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа. Распределение Максвелла.
  • Ферми- и бозе-газы элементарных частиц. Распределения Ферми и Бозе.
  • Задача об излучении абсолютно черного тела. Формула Планка.
  • Одномерная модель Изинга. Метод трансфер-матрицы.
  • Фазовые переходы и их классификация. Критическая точка. Масштабная инвариантность.

Литература

  1. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Теоретическая физика, тома I, II, III, V.
  2. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, Современная геометрия
  3. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. Методы теории функций комплексного переменного.
  4. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, том I.
  5. Л.Б.Коралов, Я.Г.Синай, Теория вероятностей и случайные процессы.
  6. Э.Т.Уиттекер, Д.Н.Ватсон, Курс современного анализа


геометрия и топология

специальность 01.01.04

Введение

В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: геометрия (в том числе дискретная), общая, алгебраическая и дифференциальная топологи по разделам: геометрия многообразий и различных геометрических структур; дискретная и комбинаторная геометрия; дифференциальная геометрия и ее приложения; интегральная геометрия; симплектическая, контактная и пуассонова геометрия конечномерных и бесконечномерных пространств; общая топология; алгебраическая топология; топология гладких многообразий; маломерная топология, включая теорию узлов и зацеплений; топология особенностей; теория пространств отображений и пространств модулей различных геометрических структур; топология и геометрия групп и однородных пространств. Программа разработана экспертным советом Высшей аттестационной комиссии по математике и механике при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

  1. Общая топология

    • Метрическое пространство. Полнота. Теорема Бэра о категории [7, 12, 24].
    • Топологическое пространство. Непрерывность. Гомеоморфизм. Аксиомы отделимости. Связность и линейная связность. Фактор-топология. Топологии в функциональных пространствах (отрыто-замкнутая топология в пространстве непрерывных отображений и C^k-топология в пространстве гладких отображений) [7, 12, 24, 26].
    • Лемма Урысона. Теорема о продолжении непрерывных функций [7, 12, 24].
    • Компактность и способы компактификации пространств. Теорема Тихонова о компактности произведения. Расширения Чеха-Стоуна. Разбиение единицы и его приложения. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации полиномами непрерывной функции на компакте в евклидовом пространстве [7, 12, 24, 26].
    • Лебегово определение размерности. Нерв покрытия и аппроксимация компакта полиэдрами [7].
    • Индуктивное определение топологической размерности. Теорема Урысона об эквивалентности [7].
    • Хаусдорфова размерность. Ее связь с топологической. Фракталы: канторово множество, ковер Серпинского, их хаусдорфова размерность [31].

  2. Алгебраическая топология

    • Гомотопическая эквивалентность. Гомотопические классы отображений. Фундаментальная группа топологического пространства. Группа кос как фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек на плоскости. Гомотопические группы пространств и их гомотопическая инвариантность. Точная гомотопическая последовательность пары. Вычисление k-мерных гомотопических групп n-мерной сферы для k меньших или равных n [1, 3, 4].
    • Пространства Эйленберга-Маклейна. H-пространства и группа гомотопических классов отображений в H-пространство. Коммутативность фундаментальной группы H-пространствa [1, 3, 4].
    • Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные пространства. Симплициальные и клеточные гомологии и когомологии, иx связь с сингулярными. Эйлерова характеристика. Гомотопическая инвариантность групп гомологий. Умножение в когомологиях. Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары. Гомологии и когомологии с коэффициентами. Оператор Бокштейна. Связь фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Двойственность Пуанкаре для многообразий [1, 3, 4, 19].
    • Теории гомологий и когомологий. Аксиомы теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и когомологий. Группы когомологий как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна [1, 3, 4].
    • Кольцо когомологий H-пространства как алгебра Хопфа. Классификация градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел [1, 3, 4].
    • Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и гомологии многообразий Грассмана [8, 3].
    • Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа. Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра. Пространство путей и петель, лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей [1, 3, 4].
    • Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое препятствие к сечению расслоения) [3].
    • Действие монодромии в гомологиях расслоения. Формула Пикара-Лефшеца [6].
    • Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база универсального векторного расслоения. Пространства Тома и изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях [1, 3, 4, 8].
    • Характеристические классы векторных расслоений [8].
    • Понятие о группе K(X) и периодичности Ботта. Группа K(X) как когомологический функтор [3, 4, 28].

  3. Топология гладких многообразий

    4. Гладкие многообразия. Криволинейные координаты. Гладкие отображения
    и дифференциал. Диффеоморфизм. Подмногообразия. Ориентация. Касательные векторы и касательные расслоения. Примеры гладких многообразий. Теория Морса: функции Морса, индуцированное клеточное разбиение, неравенства Морса. Перестройки в многообразиях. Конструкция Понтрягина-Тома. Понятие бордизма многообразий [1, 13].
    Вложения и погружения. Теорема Уитни о вложении и погружении в евклидовы пространства. Субмерсии и гладкие расслоения. Особые и регулярные
    точки гладких отображений. Лемма Сарда (формулировка). Степень отображения, ее гомотопическая инвариантность. Применения степени отображения.
    Степень отображения и интеграл. Теорема Гаусса-Бонне. Гомотопическая
    классификация отображений n-мерной сферы в себя. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двумерную. Инвариант Хопфа [1,
    3, 21].
    Индекс особой точки векторного поля и теорема Эйлера-Пуанкаре [1].
    Двойственность Александера. Индексы пересечения и зацепления. [3, 4].
    Исчисление струй. Топологии Уитни в пространствах гладких отображений.
    Теоремы трансверсальности. Теорема трансверсальности Тома и ее следствия:
    лемма Морса, слабая теорема Уитни. Локальная классификация устойчивых
    отображений плоскости в плоскость и в трехмерное пространство. Число Милнора изолированной особенности функции [6].

  4. Топология малых размерностей

    5. Классификация двумерных замкнутых поверхностей. Группы гомологий и
    фундаментальные группы двумерных поверхностей. Узлы и зацепления. Движения Райдемайстера. Полином Александера узла. Примеры трехмерных многообразий. Склейка полноторий по диффеоморфизму границы. Диаграмма Хегора трехмерных многообразий [3, 9, 21].

  5. Дифференциальная геометрия

    6. Теория кривых и поверхностей в трехмерном пространстве: натуральный
    параметр, кривизна и кручение кривой, формулы Френе, первая и вторая квадратичные формы поверхности, гауссова и средняя кривизны, главные направления и главные кривизны, теорема Менье и формула Эйлера. Деривационные
    формулы [1, 11, 21, 22].
    Риманова метрика и римановы многообразия. Подмногообразия в евклидовом пространстве и индуцированная метрика. Геометрия Лобачевского. Проективная геометрия [1, 11, 21].
    Тензоры и тензорные поля на гладких многообразиях. Алгебраические операции над тензорами. Симметрические и кососимметрические тензоры. Производная Ли [1, 2, 21].
    Внешние дифференциальные формы, внешнее дифференцирование. Интегрирование внешних дифференциальных форм. Формула Стокса. Точные и
    замкнутые формы. Когомологии де Рама. Теорема де Рама (без доказательства).
    Оператор Лапласа и гармонические формы. Двойственность Пуанкаре [1, 15,
    21].
    Ковариантное дифференцирование. Символы Кристоффеля. Тензор кручения. Римановы симметрические связности. Тензор кривизны Римана и критерий локальной евклидовости римановой метрики, тензор Риччи и скалярная кривизна. Теорема Гаусса о связи между скалярной и гауссовой кривизнами [1,
    2, 21].
    Параллельный перенос и геодезические. Формула Эйлера-Лагранжа. Примеры: геодезические на плоскости, сфере, плоскости Лобачевского, поверхности
    вращения. Сопряженные точки и индекс геодезической [1, 21].
    Связности и кривизна в расслоениях. Тождество Бьянки [1, 2, 13].
    Характеристические классы и характеристические числа. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Характеристические числа [8, 15].
    Теорема Стокса и инвариантность характеристических чисел относительно
    бордизма [1, 2, 8].
    Проективная двойственность и преобразования Лежандра [5, 11].

  6. Геометрические структуры на гладких многообразиях

    7. Структуры на гладких многообразиях: риманова, почти комплексная, эрмитова, комплексная, кэлерова. Понятие о препятствиях к существованию структур [15].
    Симплектическая структура. Примеры симплектических многообразий.
    Теорема Дарбу. Существование почти комплексной структуры на симплектическом многообразии. Скобка Пуассона. Примеры пуассоновых многообразий.
    Гамильтоновы векторные поля и гамильтоновы системы. Первые интегралы
    гамильтоновых систем [5, 1].
    Контактные структуры и контактные многообразия. Примеры. Слоения и
    распределения. Теорема Фробениуса [4, 5].

  7. Геометрия групп Ли и однородных пространств

    • Группы Ли и алгебры Ли, присоединенное представление. Алгебра Ли векторных полей. Действия групп Ли на гладких многообразиях. Односвязные и неодносвязные группы Ли. Однородные пространства. Примеры: классические матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля, лагранжевы грассманианы U(n)/O(n) и U(n)/SO(n). Компактные группы Ли и биинвариантная метрика [14, 1, 22, 25].
    • Кольцо когомологий компактной группы Ли [1]. Группы токов и группы диффеоморфизмов как примеры бесконечномерных групп Ли [27].

  8. Дискретная и комбинаторная геометрия

    • Выпуклые множества и разбиения пространства. Разбиения Вороного и Делоне [16]. Кристаллы как правильные точечные системы. Кристаллографическая группа в евклидовом пространстве. Классификация кристаллографических групп на плоскости [10].
    • Правильные многогранники. Теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с данным набором граней [11, 30, 29].

Основная рекомендуемая литература

  1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Части 1 (Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей), 2 (Геометрия и топология многообразий) и 3 (Методы теории гомологий). М.: Наука, 1986, 1984. (Части 1 и 2 переизданы в М.: Эдиториал УРСС, 1998.)
  2. Новиков С.П., Тайманов И.А. Современные геометрические структуры и поля. М.: МЦНМО, 2003.
  3. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука,
    1989.
  4. Новиков С.П. Топология. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.
  5. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
    1989.
  6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Том 1, 2. М.: Наука, 1982, 1984.
  7. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.:
    Наука, 1973.
  8. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.
  9. Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. М.: Изд-во МЦНМО, 1997.
  10. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
  11. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию.  М., Наука, 1966.

 

Дополнительная литература

  1. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981.
  2. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
  3. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по алгебраическим группам и группам Ли. М.: Наука, 1988.
  4. Чжень Ш.-Ш. Комплексные многообразия. М.: Иностранная Литература, 1961.
  5. Роджерс К. Укладки и покрытия. Мир, М., 1968.
  6. Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. М.:Наука, 1980.
  7. Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М.: Мир, 1972.
  8. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. М.: Мир, 1969.
  9. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.
  10. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
    М.: Изд-во “Факториал Пресс”, 2000.
  11. Тайманов И.А. Лекции по дифференциальной геометрии. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерныx исследований, 2002.
  12. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том 1,2. М.: Наука, 1981.
  13. Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.
  14. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симметрий. Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
  15. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии, Геометрические главы. М.: Наука, 1977.
  16. Пресли А., Сигал Г., Группы петель. М.: Мир, 1990.
  17. Атья М. Лекции по K-теории, Мир, 1967.
  18. А.Д. Александров. Выпуклые многогранники. Изд-во ТехникоТеоретической литературы. М., Л., 1950.
  19. Л.А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. Изд-во ТехникоТеоретической литературы. М., Л., 1956
  20. Федер Е. Фракталы. Мир, М., 1991.