spring6_ru
| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА | РАСПИСАНИЕ | ДОКЛАДЫ |

Точные S-матрицы в двумерных теориях поля

Куратор:

Анотация:
Задача об описании процессов рассеяния в квантовой теории поля в общем случае крайне сложна: они описываются бесконечным набором функций (S-матрицей) с нетривиальными аналитическими свойствами. Специальным свойством размерности 2, помимо сильного упрощения кинематики, является неприменимость теоремы Коулмана-Мандулы, согласно которой наличие нетривиальных интегралов движения в КТП приводит к тривиальности матрицы рассеяния. Наличие таких интегралов в достаточно большом числе приводит к упругости (отсутствию рождения частиц) и факторизации процессов рассеяния – для описания произвольного процесса достаточно знать конечный набор амплитуд рассеяния 2 в 2. В некоторых нетривиальных двумерных теориях поля с таким свойством эти амплитуды часто могут быть найдены точно. Мы рассмотрим некоторые общие свойства таких теорий и несколько примеров

Пререквизиты:
базовые знания квантовой теории поля

  1. Мотивация:
    • двумерные теории с одним скалярным полем и отсутствием рождения частиц. [PD sec. 1, ?]
    • Восстановление лагранжианов синус-Гордона и Буллоу-Додда из условия сокращения амплитуд 2 → m на древесном уровне
    • Как устроены древесные n → n амплитуды
    • Бесконечное число локальных интегралов движения в этих теориях: как их искать и примеры
  2. Теории поля с бесконечным числом локальных интегралов движения [PD sec. 2, Las lec. 5]
    • Асимптотические состояния и действие на них
    • Связь наличия доп. интегралов движения, упругости рассеяния и факторизуемости S-матрицы в 2D. Уравнение Янга-Бакстера
  3. S-матрица 2 в 2 в интегрируемых теориях
    • Параметризация, общие аналитические свойства, параметризация быстротой
    • Унитарность, кроссинг, дискретные симметрии
    • Простые полюса с положительным вычетом и их соответствие связанным состояниям: мотивация из квантовой механики [BZP III.3] и древесных диаграмм
    • Пример и проверка свойств: пертурбативное вычисление S-матрицы в 1 петле для модели шинус-Гордона [PD sec. 3,4; Las lec.3,5]
  4. Уравнения на матрицу рассеяния на связанных состояниях и идея “интегрируемого бутстрапа”
    • Пример: Е8-теория Замолодчикова – S-матрицы, спектр масс, идентификация с теорией поля Изинга с m=0, h != 0 [PD sec. 5, Z, D, Las lec. 10]
  5. Cингулярности амплитуд из теории возмущений
    • Уравнения Ландау, соответствие on-shell диаграммам [EVOP chap.2, SM sec. II.1]
    • Интегрируемые теории с недиагональным рассеянием: спектр частиц и S-матрицы в модели синус-гордона (без доказательства)
    • “Лишние” полюса S-матрицы в этом случае; их объяснение Coleman & Thun. [PD sec.4, ZZ, CT]

    Литература

    [PD] Patrick Dorey “Exact S-matrices” https://arxiv.org/abs/hep-th/9810026
    [Las] лекции М. Ю. Лашкевича по интегрируемым теориям поля https://home.itp.ac.ru/~lashkevi/lectures/imqft-factory-20/
    [Z] A.B. Zamolodchikov “Integrals of Motion and S-matrix of the {scaled) T = Tc Ising Model with Magnetic Field “
    [D] G. Delfino “Integrable field theory and critical phenomena. The Ising model in a magnetic field” https://arxiv.org/abs/hep-th/0312119v1
    [BZP] Базь, Зельдович, Переломов “Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике”
    [CT] Coleman, Thun “On the Prosaic Origin of the Double Poles in the Sine-Gordon S-Matrix”
    [ZZ] Zamolodchikov, A. B., & Zamolodchikov, A. B. “Factorized S-matrices in two dimensions as the exact solutions of certain relativistic quantum field theory models”
    [SM] Sebastian Mizera “Crossing symmetry in the planar limit”, https://arxiv.org/pdf/2104.12776
    [EVOP] Eden, Landshoff, Olive, Polkinghorne “The Analytic S-matrix”

    Теорема об отсутствии волос

    Куратор:

    Аннотация:
    Утверждение теоремы об отсутствии волос заключается в том, что все стационарные черные дыры характеризуются только конечным количеством степеней свободы – массой, моментом и зарядом. Остальные характеристики выражаются через эти три параметра, а вся остальная информация(что как раз и называется “волосами” в аналогии А.Уилера) о том, как была сформирована черная дыра, теряется. Существуют разные подходы к доказательству этой теоремы, однако на этой секции предлагается разобраться с методом через потенциал Эрнста

    Пререквизиты:
    базовые знания Римановой геометрии

    1. Черные дыры Шварцшильда, Керра, Рейснера – Нордстёма, Керра-Ньюмана [1, 2, 3]
      • Понятия горизонта событий, ускорения на горизонте(surface gravity), интегралы Комара
      • “Законы термодинамики” для черных дыр
    2. Пространства, допускающие вектора Киллинга [1, глава 2], [4]
      • Потенциал Эрнста, уравнения на него, случай двух векторов Киллинга
      • Пример для черной дыры Керра
    3. Циркулярные пространства [1, глава 3]
      • Редукция к подмногообразию, ортогональному векторам Киллинга
      • Координаты Вейля
    4. Электровакуумные решения с двумя векторами Киллинга [1, глава 5]
      • Уравнения Эйнштейна-Максвелла в терминах потенциала Эрнста
    5. Теорема об отсутствии волос для черной дыры Керра-Ньюмана [1, глава 10]
      • Действие на потенциал Эрнста
      • Тождество Мазура

    Литература:

    [1] Markus Heusler “Black holes uniqueness theorems”
    [2] P.K. Townsend “Black Holes” https://arxiv.org/abs/gr-qc/9707012
    [3] Peter Petersen “Riemannian Geometry”
    [4] Frederick J. Ernst “New formulation of the axially symmetric gravitational field problem I, II”

    Изучение 6-вершинной модели

    Куратор:

    Аннотация:
    Вершинные модели (они же ice-type models) являются важным примером точнорешаемых моделей статистической физики. Сравнительно несложным, но интересным представителем класса вершинных моделей является 6-вершинная модель, демонстрирующая наличие нескольких нетривиальных фаз, а также критической точки. В этом модуле мы изучим определение и свойства 6-вершинной модели, а также на ее примере познакомимся с важными концептами интегрируемых систем, такими как R-матрица, RLL-алгебра, уравнение Янга-Бакстера и анзац Бете. В конце блока мы получим простейший пример детерминантной формулы, а именно формулы Изергина для DWPF (Domain Wall Partition Function). Все изложенные в курсе понятия имеют широкие приложения и далекоидущие обобщения, встречающиеся в самых разных разделах математической и теоретической физики, а также алгебраической геометрии

    Пререквизиты: линейная алгебра, математический анализ, основы теории функций комплексного переменного, основы термодинамики и статистической физики (статсумма, свободная энергия, температура)

    1. Определение 6-вершинной модели [Reshetikhin, Zabrodin, Baxter, Slavnov, Pugai]
      • Статсумма и (ряд-в-ряд) трансфер-матрица 6-вершинной модели. R-матрица 6-вершинной модели, индексная запись
      • Коммутирующие трансфер-матрицы, задача совместной диагонализации
      • Уравнение Янга-Бакстера как условие интегрируемости, графическая интерпретация
      • Запись уравнения Янга-Бакстера в индексах, матричная запись
      • Связь 6-вершинной модели с XXZ цепочкой
    2. RLL-алгебра [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai]
      • Следствия уравнения Янга-Бакстера для коэффициентов, спектральный параметр, тригонометрические параметризации
      • L-оператор, RLL-алгебра, определяющие соотношения и графическая интерпретация
    3. Анзац Бете в 6-вершинной модели. [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai, Lashkevich]
      • Построение векторов Бете
      • Вывод уравнений Бете
      • Тривиальность случая Δ > 1, свободная энергия в этом случае
    4. Решение уравнений Бете в термодинамическом пределе для Δ < 1 [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai, Lashkevich, free energy strict]
      • Термодинамический предел уравнений Бете, гипотеза о структуре нулей
      • Вывод свободной энергии в случаях -1< Δ <1 и Δ < -1
      • Фазовая диаграмма, обсуждение смысла фаз
    5. Детерминантная формула Изергина [garcia, Slavnov]
      • DWPF статсумма
      • Уменьшающее свойство и полюса статсуммы
      • Рекуррентные соотношения и вывод формулы Изергина

    Литература

    [Pugai] Лекции Института Теоретической Физики им. Ландау
    [Reshetikhin] Лекции Решетихина по 6-вершинной модели
    [Zabrodin] Лекции Забродина по анзацу Бете и интегрируемым системам
    [Baxter] Exactly solvable models of statistical mechanics
    [free energy strict] On the six-vertex model’s free energy
    [Slavnov] Slavnov, “Algebraic Bethe Ansatz”

    Дискретные интегрируемые уравнения

    Куратор:

    Аннотация:
    В курсе предлагается рассмотреть основы дискретных интегрируемых систем. Мы сосредоточимся на интегрируемых системах на квад-графах. Оказывается, что для определенного подкласса этих систем существует их полная классификация. В рамках курса данная классификация будет доказана. Начнем с одного из определений интегрируемости в дискретном случае и покажем, как из непрерывных интегрируемых систем получаются, дискретные и наоборот. Кроме того мы рассмотрим класс солитонных решений для дискретных уравнений

    Пререквизиты: линейная алгебра, желательно шапочное знакомство с непрерывными интегрируемыми системами, хотя бы на уровне знания уравнения КдФ или синус-Гордона

    1. Связь дискретной и непрерывной интегрируемости [HJN, гл 1,2,5]
      • Преобразования Бэклунда интегрируемых систем, Примеры для уравнений Синус-Гордона и КдВ
      • Дискретные системы, получающиеся из них
      • Обратный переход из дискретных к непрерывным уравнениям
    2. Определение интегрируемости [HJN, гл. 3], [ABS], [ДА, гл. 2]
      • Согласованность вокруг граней куба
      • Интерпретация согласованности через уравнение нулевой кривизны, соотношение Янга-Бакстера
      • Классификация дискретных уравнений на квад-графах
    3. Доказательство ABS классификации [ABS], [ДА, гл. 2]
    4. Солитонные решения с помощью матриц Коши [HJN, гл. 9]


    Литература:

    [ABS] – V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris “Classification of Integrable Equations on Quad-Graphs. The Consistency Approach”
    [HJN] – J. Hietarinta, N. Joshi, F. Nijhoff “Discrete systems and integrability”.
    [ДА] – В. Адлер “Классификация дискретных интегрируемых систем” (докторская диссертация).

    Зеркальная симметрия. Конструкции Батырева и Берглунда-Хубша

    Кураторы:


    Аннотация:
    Понятие зеркальной симметрии впервые возникло в начале 90х годов, как соответствие между топологически различными трехмерными многообразиями Калаби-Яу. С физической точки зрения данная симметрия означает эквивалентность теорий струн типа IIA и IIB, компактифицированных на соответствующие многообразия. В рамках же курса будет дано математическое определение понятия зеркальной симметрии. Мы изучим два подхода по построению искомого понятия, а именно конструкции Батырева и Бергланда-Хубша, а также способ их реализации в терминах вертексных алгебр, предложенный Борисовым

    Пререквизиты:
    CFT, N=2 SCFT, дифференциальная геометрия

    1. Торические многообразия, вееры [1, глава 7; 5]
      • Торические многообразия, вееры. Конструирование торических многообразий с помощью вееров и обратная конструкция
      • Орбифолды. Раздувание торических многообразий
    2. Политопы. Конструкция Батырева [1, глава 7; 5]
      • Политопы. Построение торических многообразий с помощью политопов и обратная конструкция
      • Многообразия Фано и Горнштейна. Зеркальная симметрия и конструкция Батырева
    3. Конструкция Берглунда-Хубша
      • Напоминание про модель Ландау-Гинзбурга [7, раздел 2]
      • Полиномы типа Ферма и конструкция Грина – Плессера [2]
      • Обобщенная конструкция Берглунда-Хубша. Примеры [2]
    4. Вертексные алгебры Борисова
      • Комбинаторная переформулировка конструкции Берглунда-Хубша и связь с конструкцией Батырева [3]
      • Напоминание об основных понятиях SCFT [4]
      • Формулировка конструкции Берглунда-Хубша в терминах вертексных алгебр. Основная теорема [3]

    Литература:

    [1] – K. Hori et al. “Mirror Symmetry”
    [2] – P. Berglund, T. Hübsch “A “Generalized Construction of Mirror Manifolds”
    [3] L.A. Borisov “Berglund-Hübsch Mirror Symmetry via Vertex Algebras”
    [4] A. Belavin, V. Belavin, S. Parkhomenko “Explicit construction of N=2 SCFT orbifold models. Spectral flow and mutual locality”
    [5] Г.Ю. Панина “Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию”
    [6] M. Krawitz “FJRW-Rings and Landau-Ginzburg Mirror Symmetry”
    [7] P. Berglund, M. Henningson “Landau-Ginzburg Orbifolds, Mirror Symmetry and the Elliptic Genus”

    Эволюция Шрамма–Левнера, статистическая физика и конформная теория поля

    Куратор:

    Аннотация:
    Эволюция Шрамма-Лёвнера–это семейство стохастических процессов на плоскости, обладающих конформной инвариантностью и марковским свойством. Было доказано, что оно описывает непрерывный предел различных двумерных решеточных моделей статистической механики, таких как критическая перколяция, критическая модель Изинга, модель двойного димера, блуждания без самопересечений и других критических моделей статистической механики, которые обладают конформной инвариантностью. SLE связаны с конформной теорией поля, которую мы обсудим в ходе курса; Некоторые математически нестрогие предсказания, сделанные физиками, были доказаны с помощью SLE

    Пререквизиты: Двумерный комплексный анализ, теория вероятности. Базовые модели статистической физики (перколяция, модель Изинга,…). Основы конформной теории поля

    1. Эволюция Шрамма–Левнера.
      • Комплексный анализ: теорема Римана, конформные отображения и оболочки, гидродинамическая нормализация, вместимость оболочек [1, Section 3.1]
      • Цепи Лёвнера [1, Section 3.2.1]
      • Аргумент Шрамма: марковское свойство и стационарность приращений конформно-инвариантных интерфейсов [1, Section 4.1]
      • Хордовые SLE определение и основные свойства: фазы, двойственность, локальность, ограничение [1, Section 4.2], [2, Sections 3.4, 6.1, 6.2]
      • Теоретико-групповая формулировка SLE [1, Section 4.4]
    2. SLE/CFT соответствие
      • Трюк с мартингалом [1, Sections 5.1, 5.2]
      • SLE/CFT соответствие в хордовом случае. Примеры [1, Section 5.3.2], [1, Section 5.3.1]
      • SLE/CFT соответствие с использованием операторного формализма CFT [1, Section 5.3.3]
    3. Вычисления в SLE
      • Вероятности столкновения с границей (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.1]
      • Формулы пересечения Карди (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.2]
      • Фрактальные размерности (вероятностные аргументы и аргументы из CFT) [1, Section 7.2]

    Литература:

    [1] M. Bauer and D. Bernard. 2D growth processes: SLE and L¨owner chains. Physics reports, 432(3-4):115–221, 2006
    [2] J. Cardy. SLE for theoretical physicists. Annals of Physics, 318(1):81–118, 2005
    [3] W. Kager and B. Nienhuis. A guide to stochastic L¨owner evolution and its applications. Journal of statistical physics, 115:1149–1229, 2004
    [4] G. F. Lawler. Conformally invariant processes in the plane. Number 114. American Mathematical Soc., 2008
    [5] W. Werner. Random planar curves and Schramm-Loewner evolutions, 2003