spring24_ru
| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА | РАСПИСАНИЕ | ДОКЛАДЫ |

Полка в хранилище
с
рекомендуемой
литературой

Классические конформные блоки и голографическая дуальность

Куратор:

Анотация:
Согласно гипотезе о голографической дуальности, квантовую гравитацию в $(d+1)$ пространственно-временных измерениях можно описывать в терминах конформной теории поля, которая живет в $d$ измерениях. Случай $d=2$ является более простым в силу топологичности гравитации в трехмерии и бесконечномерной симметрии двумерной конформной теории, что позволяет упростить вычисления в обоих теориях. Мы сфокусируемся на конкретном примере голографической дуальности между классическими конформными блоками и взвешенными длинами специальных графами, которые живут на пространстве $AdS_3$ c коническими дефектами, которые могут быть явно найдены.

Пререквизиты:
знания основ CFT, иметь представление о метрической теории гравитации

  1. Базовые определения СFT2 на плоскости
    • Конформные преобразования, алгебра Вирасоро, состояния старшего веса, соответствие между данными состояниями и примарными операторами. Операторы-потомки. Корреляционные функции с двумя, тремя и четырьмя операторными вставками, тождества Уорда. [1, глава 2]; [2, главы 5 и 6]
    • Операторное разложение (OPE) примарных операторов. Уравнение цепочки на коэффициенты в OPE и решение на низших уровнях [2, глава 6.6.3]
  2. Конформные блоки, вырожденные операторы и уравнения БПЗ:
    • Определение конформного блока, первые коэффициенты в разложении по z. Классический предел, классические размерности, экспоненциация [2, Глава 6.6.4], [3, Глава 5]
    • Вырожденные операторы: определение сингулярного вектора, вывод вида вектора $V_{2,1}$ . БПЗ уравнение на 5-точечный (вспомогательный) блок с вырожденным оператором $V_{2,1}$ и его классический предел [2, Глава 8.3.3] [3, Глава 6]
  3. Классические конформные блоки и монодромный метод [4, аппендиксы C и D], [5]
    • Монодромии вспомогательного 5-точечного блока, постановка монодромной задачи.
    • Решение задачи для 4-точечного классического блока с двумя пертурбативных и двумя бэкграундными операторами (“heavy-light”приближение)
    • Явные функции 4-точечных классических блоков
  4. Подготовка к дуальному описанию [6], [7]
    • Пространство $AdS_3$ (Евклид), глобальный и Пуанкаре патчи, конформная граница
    • Решение уравнений Эйнштейна с одной частицей: метрика конической сингулярности
    • Срез постоянного времени/li>
  5. Дуальное описание классических блоков [8 аппендикс A], [9 глава 3], [4]
    • Прескприция для вычисления классического 4-точечного блока через действия пробных частиц или длины взвешеннных минимальных графов
    • Случай 4-точечного вакуумного блока
    • Геодезический граф для невакуумного блока и его длина

Список литературы

[1] P.H. Ginsparg, APPLIED CONFORMAL FIELD THEORY, in Les Houches Summer School in
Theoretical Physics: Fields, Strings, Critical Phenomena, 9, 1988
[2] P. Di Francesco, P.Mathieu and D.Senechal, Conformal Field Theory. Graduate Texts in Contemporary Physics. Springer-Verlag, New York, 1997
[3] A.B. Zamolodchikov, PHYSICS REVIEWS. VOL. 10, PT. 4: CONFORMAL FIELD THEORY AND CRITICAL PHENOMENA IN TWO-DIMENSIONAL SYSTEMS. 1989
[4] A.L. Fitzpatrick, J. Kaplan and M.T. Walters, Universality of Long-Distance AdS Physics from the CFT Bootstrap, JHEP 08 (2014) 14
[5] P. Banerjee, S. Datta and R. Sinha, Higher-point conformal blocks and entanglement entropy in heavy states, JHEP 05 (2016)
[6] S. Deser and R. Jackiw, Three-Dimensional Cosmological Gravity: Dynamics of Constant Curvature, Annals Phys. 153 (1984) 405–416
[7] M. Welling, Explicit solutions for point particles and black holes in spaces of constant curvature in (2+1)-Dimensional gravity, Nucl. Phys. B 515 (1998) 436–452
[8] C.T. Asplund, A. Bernamonti, F. Galli and T. Hartman, Holographic Entanglement Entropy from 2d CFT: Heavy States and Local Quenches, JHEP 02 (2015) 171
[9] E. Hijano, P. Kraus and R. Snively, Worldline approach to semi-classical conformal blocks, JHEP 07 (2015) 131

Гравитационный инстантон

Кураторы:
,

Аннотация:
Гравитационный инстантон – это самодуальное решение уравнений Эйнштейна. Исторически среди всех самодуальных решений особенный интерес представляли так называемые асимптотически локально евклидовы (ALE) решения.
Дело в том, что, во-первых, они обладают нулевым классическим действием, а поэтому доминируют в (гипотетическом) функциональном интеграле для гравитации; а во-вторых, как и для инстантонов в теории Янга-Миллса, на пространственной бесконечности метрика становится плоской, так что, самодействие гравитации выключается, что позволяет интерпретировать ALE решения как in- и out-состояния в (гипотетической) теории квантовой гравитации.
Егучи и Хансон, а также независимо от них Калаби, в 1978-1979 годах изобрели первый пример пространства-времени, удовлетворяющим как условиям самодуальности, так и условиям ALE.
И пусть в создании пертурбативной квантовой гравитации это решение и не поучаствовало, оставшись одним из фактов истории науки, кураторы этой секции уверены, что оно, как и всякое другое точное решение, самоценно.
На этой секции предлагается, следуя начальным разделам прекрасно написанной оригинальной статьи [EH79], изучить одноинстантонное решение Егучи-Хансона. Будет показано, что оно обладает рядом замечательных свойств

  • Классическое действие на этом решении обращается в ноль
  • Пространственная бесконечность $r\rightarrow\infty$ представляет собой не $S^3$, как было бы для чернодырных, например, решений, а $S^3/\mathbb{Z}_2 = \mathbb{RP}^3$. Отсюда и название “асимптотически \textit{локально} евклидово”
  • Как гладкое многообразие оно диффеоморфно $T^*S^2$
  • Метрика Егучи-Хансона действительно кэлерова
  • Метрика Егучи-Хансона в действительности не только кэлерова, но и гиперкэлерова (не успеем, скорее всего)
  1. Напоминание: теория Янга-Миллса [EH79, введение], [EGH80, разделы 9.1, 9.2]

    • Уравнения Янга-Миллса и их самодуальные решения
    • Инстантон BPST в $\mathrm{SU}(2)$-теории: радиально-симметричный анзатц, дифференциальное уравнение на функцию $\rho(r)$, решение BPST
  2. Напоминание: теория гравитации
    • Уравнения Эйнштейна в пустоте. Уравнения самодуальности влекут уравнения Эйнштейна
    • Формулировка гравитации Эйнштейна в терминах переменных Картана: тетрады и спиновые связности, 2-формы кручения и кривизны, структурные уравнения [EGH80 раздел 3.1]
    • Примеры: круглая двумерная сфера и решение Шварцшильда [EGH80 примеры к разделу 3.2]
  3. Самодуальные римановы многообразия
    • Условия самодуальности на кривизну и спиновую связность [EGH80 раздел 3.3]
    • Радиально-симметричный анзатц самодуальной спиновой связности, уравнение на $\rho(r)$
    • Решение Егучи-Хансона [EGH79 раздел B]; [EGH80 стр. 253]
  4. Свойства решения Егучи-Хансона
    • ALE, сечения постоянного $r$ диффеоморфны $S^3/\mathbb{Z}_2$, кэлеров потенциал [EGH79 раздел II С]
    • Описание пространства Егучи-Хансона как тотального пространства кокасательного к двумерной сфере
    • Действие и топологические инварианты*
  5. (*) Другие гравитационные инстантоны: метрика FS на $\mathbb{CP}^2$, Taub-NUT, K3, etc
    • Многоинстантонные решения, топология линзового пространства
    • Инстантоны Янга-Миллса на фоне гравитационного инстантона
    • Модули гравитационных инстантонов: первый класс Понтрягина = число инстантонов, etc

Литература:

[EGH80] Tohru Eguchi, Peter Gilkey и Andrew Hanson. “Gravitation, Gauge Theories And Differential Geometry”. В: Physics Reports 66 (нояб. 1980), с. 213-393.doi: 10.1016/0370-1573(80)90130-1
[EH79] Tohru Eguchi и Andrew J. Hanson. “Selfdual Solutions to Euclidean Gravity”. В: Annals Phys. 120 (1979), с. 82, doi: 10.1016/0003-4916(79)90282-3.

Модулярные формы

Куратор:

Аннотация:
Классические модулярные формы – это голоморфные функции на верхней полуплоскости, которые хорошо себя ведут относительно дробно линейных замен переменной. Их появление в различных разделах математики объясняется двумя фактами: если зафиксировать так называемый вес, то пространство таких функций будет конечномерным; модулярные формы естественно возникают в разных разделах математики. Таким образом появляются линейные соотношения между модулярными формами имеющими разное происхождение.
Предлагается изучить основные свойства модулярных форм и рассмотреть несколько приложений. Первая тема посвящена модулярным формам для SL2(Z). В этом случае все модулярные формы можно явно классифицировать. Вторая и третья темы посвящены модулярным формам для произвольной конгруенц подгруппы. Оказывается, что модулярные формы можно интерпретировать как сечения некоторых расслоений на соответствующих римановых поверхностях. Последние две темы посвящены приложениям: четвертая тема к квадратичным формам и пятая – к свойствам функции рамануджана.
Темы отмеченные символом (∗) могут быть опущены по желанию докладчика

Пререквизиты: ТФКП, теория групп, линейная алгебра. Первая две темы являются необходимыми для последующих. Остальные темы независимы

  1. Модулярные формы относительно конгруенц-подгрупп
    • Определения и примеры
    • Ряды Эйзенштейна и их разложение в ряд Фурье
    • Параболические формы [DS05, 1.1,1.2]
    • Описание фундаментальной области для SL2(Z) [Ser12, 7.1]
  2. Классификация модулярных форм для SL2(Z)
    • Формула для размерности
    • Поле модулярных функций изоморфно полю рациональных функций от j-инварианта
    • Ряд Эйзенштейна в весе 2: определение и функциональное уравнение

    • Разложение дискриминанта в бесконечное произведение.

    • Порядок роста коэффициентов [Ser12, 7.3,7.4]
  3. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют E2, E4, E6
    • Квазимодулярные формы относительно SL2(Z) [Zag08, 5-5.1]
    • Модулярная форма веса k удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению порядка k+1 с алгебраическими коэффициентами. Примеры [Zag08, 5.4]
    • (*) Доказательство иррациональности ζ(3).Квазимодулярные формы относительно произвольной подгруппы
  4. Квадратичные формы
    • Конструкция решетки E8 и решетки Лича
    • Тэта функция положительно определенной четной унимодулярной решетки является является модулярной формой относительно SL2(Z) ([Ser12, 7.6])
    • Асимптотика для числа представлений числа четной унимодулярной квадратичной формой [Zag08, prop. 12]
    • (*) Формула для представления числа в виде 2 и 4 квадратов [Zag08, 3.1]
  5. Определение операторов Гекке (для случая SL2(Z)) и их базовые свойства.
    • Скалярное произведение Петерсона
    • Совместная диагонализуемость операторов Гекке
    • Пример в весах 12 и 24. Следствие: мультипликативность τ функции Рамануджана
    • L функция Гекке собственной формы
    • (*) Аналитическое продолжение и функциональное уравнение [Zag92, 2]

Литература

[DS05] Fred Diamond and Jerry Michael Shurman. A first course in modular forms, volume 228. Springer, 2005
[Ser12] Jean-Pierre Serre. A course in arithmetic, volume 7. Springer Science & Business Media, 2012
[Zag92] Don Zagier. Introduction to modular forms. In From number theory to physics, pages 238–291. Springer, 1992
[Zag08] Don Zagier. Elliptic modular forms and their applications. The 1-2-3 of modular forms: Lectures at a summer school in Nordfjordeid, Norway, pages 1–103, 2008

Уравнение Кадомцева-Петвиашвили

Куратор:

Аннотация:
Мы рассмотрим уравнение Кортевега де Фриза и его обобщение в виде уравнения Кадомцева-Петвиашвили. В данной теме мы рассмотрим эти уравнения с разных сторон и на их примере увидим важные аспекты, актуальные для многих интегрируемых систем. Естественной переменной, для уравнения КП является тау-функция. Через нее удобно переписывать само уравнение и кроме того его решение часто принимает наиболее удобный вид именно в терминах тау-функции. Кроме того интегрируемые уравнения
появляются не сами по себе, а в виде иерархий уравнений на бесконечный набор времен, однако, существуют способы записать их в компактном виде. Помимо этого в последнем докладе мы рассмотрим широкий класс решений иерархии КП, которые связаны с солитонами и механическими интегрируемыми системами типа Руйсенаарса.

Пререквизиты: Умение дифференцировать, интегрировать, начальное знание линейной алгебры

  1. Уравнения КдВ и КП [H. Гл.1,3, МДД гл.3]
    • Запись в билинейной форме через тау-функцию
    • Производная Хироты
    • Односолитонное и многосолитонные решения
  2. Алгебра псевдодифференциальных операторов [Z гл. 2,3], [МДД, гл 2,3], [D гл. 2, 5], [WS гл 2]
    • Уравнения КдВ и КП как уравнение Лакса
    • Функция Бейкера Ахиезера как решение линейной задачи
    • Псевдодифференциальные операторы, отвечающие многосолитонным решениям иерархии
  3. Уравнения Хироты [Z гл 2], [D гл. 6], [WS гл 2]
    • Интегральное уравнение Хироты для иерархии КП
    • Вывод дифференциальных уравнений иерархии
    • Разностное уравнение Хироты и его эквивалентность всей иерархии

    4. Почти переплетающиеся матрицы как решение иерархии КП [KG]

    • Почти переплетающиеся матрицы и дискретное уравнение Хироты
    • Многосолитонные решения
    • Связь с механическими интегрируемыми системами

Литература:

[H] – R. Hirota. “The direct Method in soliton theory”
[МДД] – Т. Мива, М. Джимбо, Э. Дате “Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры”
[D] – L. Dickey “Soliton equations and Hamiltonian systems”
[Z] – A. Zabrodin “Lectures on nonlinear integrable equations and their solutions”[WS] – R. Willox, J. Satsumo “Sato theory and Transformation Groups. A Unified Approach to integrable systems” (глава в сборнике “Discrete Integrable Systems”)
[KG] – A. Kasman, M. Gekhtman “Solitons and “almost intertwining” matrices”

Представления квантовых групп и их характеры

Куратор:

Аннотация:
Теория представлений квантовых групп играет важную роль в различных областях
По аналогии с классическими курсами теории представлений, основная задача
Также обсудим теорию характеров, в частности, постараемся сравнить разные определения

Пререквизиты:
линейная алгебра, (желательно) представления алгебры Ли $\mathfrak{gl}_n$

  1. Неприводимые представления $Y (\mathfrak{gl}_2)/Y (\mathfrak{sl}_2)$ и $U_q(
    \hat{\mathfrak{gl}}_2)/U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$ [M], [CP1, Ch. 12]

    • $RTT$ и “новая” реализация Дринфельда
    • Отсутствие вполне приводимости, классификация неприводимых представлений и их явная реализация
  2. Неприводимые представления $Y (\mathfrak{gl}_n)/Y (\mathfrak{sl}_n)$ и
    \hat{\mathfrak{gl}}_n)/U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_n)$ [M], [CP1, Ch. 12]]

    • Классификация неприводимых в терминах полиномов Дринфельда
    • Явная реализация некоторых неприводимых
  3. Характеры представлений [K], [FR], [CP2]
    • Характеры Гельфанда-Цейтлина, характеры Найта и q-характеры
    • Примеры вычислений
  4. ∗ Уравнение Янга-Бакстера [CP1, Ch.12]
    • Рациональные и тригонометрические решения.

Список литературы:

[CP1] V. Chari, A. Pressley A guide to quantum groups. 1995
[M]А. Молев Янгианы и классичекие алгебры Ли. 2009
[K] H. Knight, Spectra of tensor products of finite dimensional representations of Yangians, Journal of algebra 174 (1995), 187–196
[FR]E. Frenkel and N. Reshetikhin The q-characters of representations of quantum affine algebras and deformed W algebras, Contemp. Math., vol. 248, AMS, Providence, RI, 1999, pp. 163–205
[CP2] V. Chari, A. Pressley Yangians: Their representations and characters

Чудесные компактификации Де Кончини-Прочези

Кураторы:
,

Аннотация:
Конструкция чудесной компактификации набора подпространств в векторном пространстве была предложена в середине 90х в связи с обобщенным уравнением KZ. Мы сначала разберемся в конструкции, а затем с помощью уравнения KZ поймём, чем же она чудесна.
Если хватит времени — обсудим приложение к модели Годена

  1. Чудесная компактификация для типа $A_{n-1}$ [G1], [DCP1], [G2]
    • Наборы подпространств в пространстве, чудесная компактификация дополнения до набора
    • Определение, покрытие картами, гладкость
    • >Изоморфизм с пространством модулей кривых Делиня-Мамфорда $\overline{M_{0,n-1}}$
  2. Чудесная компактификация произвольного набора подпространств [DCP1], [DCP2], [G2]
    • Определение, покрытие картами, гладкость
    • Случай набора гиперплоскостей, случай системы корней

  3. (Обобщённое) уравнение KZ и его решения [DCP2]

    • Алгебра голономий
    • Представления монодромии (обобщённой) группы кос
  4. ∗ Модель Годена и чудесная компактификация [AFV1], [AFV2]
    • Компактификация семейства коммутативных подалгебр алгебры голономий.

Литература:
[DCP1] C. De Concini, C. Procesi Wonderful models of subspace arrangements. 1995
[DCP2] C. De Concini, C. Procesi Wonderful models of subspace arrangements. 1995
[G1] G. Gaiffi Compactifications of configuration spaces. 1999
[G2] G. Gaiffi De Concini – Procesi models of arrangements and symmetric group actions. 1999
[AFV1] L. Aguirre, G. Felder, A. P. Veselov Gaudin subalgebras and stable rational curves. 2010
[AFV2] L. Aguirre, G. Felder, A. P. Veselov Gaudin subalgebras and wonderful models. 2015

N=2 Суперконформные теории поля

Кураторы:
,

Аннотация:
Суперсимметричные двумерные конформные теории поля возникают при компактификации в теории суперструн в подходе, предложенным Гепнером. Планируется изучение супералгебры Вирасоро, спектрального потока, минимальных моделей N=2 Вирасоро, связи с теорией суперструн. Также планируется обсуждения классификации модулярно-инвариантных статсумм и характеров N=2 CFT. Они связаны с характерами модели Весса-Зумино-Виттена (WZW)

Пререквизиты:
знание основ CFT

  1. Минимальные модели CFT
    • Алгебра Вирасоро. Модуль Верма, представления старшего веса
    • Вырожденные поля. Теорема Каца-Фейгина-Фукса
    • Минимальные модели. Унитарная серия [DiF глава 7]
  2. Алгебра N=2 Вирасоро
    • Введение. Возникновение N=1 Вирасоро в минимальной модели трикритического Изинга M(4,5) [L Лекция 14]
    • N=2 Вирасоро. Коммутационные соотношения NS и R секторы
    • Представление свободными полями [G1 стр 5-8], [BBP стр. 2-5]
    • Примарные поля. Киральные и анти-киральные поля. Связь конформной размерности и заряда [BBP стр. 2-5]
  3. Минимальные модели N=2 Вирасоро
    • Унитарная серия, центральный заряд, конформная размерность полей в минимальной модели
    • Спектральный поток. Построение полного набора примарных полей из кирального-примарного [G1 секция 4]; [BBP секция 2]
  4. Характеры минимальных моделей
    • Напоминание про статсумму и характеры в CFT
    • Требование модулярной инвариантности статсуммы. Модулярные преобразования характеров [DiF глава 10]
    • Связь с характерами WZW
  5. ADE классификация модулярно-инвариантных статсумм [G1 секция 5]; [GQ секция 3-4]; [G2]

Литература:

[L] Litvinov – CFT Lectures
[DiF] P.Di Francesco, P.Mathieu and D.Senechal, “Conformal Field Theory,’’
Springer-Verlag, 1997
[G1] D. Gepner, “Lectures on N=2 String Theory”
[BBP] A. Belavin, V. Belavin, S. Parkhomenko, “Explicit construction of N = 2 SCFT orbifold models”
[G2] D. Gepner, “On the spectrum of 2d CFT”
[GQ] Gepner, Qiu, “Modular invariant partition functions”

Обобщенная гидродинамика

Кураторы:
,

Аннотация:
Обычная гидродинамика описывает системы с небольшим количеством долгоживущих возбуждений. Однако в одном измерении было обнаружено, что многие экспериментально важные системы характеризуются большим количеством долгоживущих возбуждений. Такие модели невозможно рассматривать с помощью традиционной гидродинамики. Для этих целей была разработана так называемая обобщенная гидродинамика (Generalized hydrodynamics). Она сочетает в себе идеи интегрируемости, гидродинамики и кинетической теории. В рамках школы планируется разобрать основы обобщенной гидродинамики, следуя лекциям Б.Дойона и Ф.Эсслера, а также некоторые статьи по данной тематике

  1. Основы гидродинамики [D,E]
    • Уравнения Навье-Стокса и Эйлера
    • Максимум энтропии и термодинамика
    • Проблема Римана.

    • Гидродинамические корреляционные функции
  2. Введение в квантовые интегрируемые системы [D,E,Z]
    • Обсуждение спектра интегрируемой теории в бесконечном объеме, вывод уравнений Термодинамического Анзаца Бете
    • Уравнения состояния
    • Гидродинамические матрицы, веса Друде и нормальные моды
  3. Обобщенная гидродинамика [D]
    • Вывод основных уравнений
    • Формулировка проблемы Римана и ее решение
    • Корреляционные функции
    • Что такое Эйлеров скейлинговый предел?

  4. Динамика системы свободных фермионов как интегрируемой системы
    • Обобщенная гидродинамика этой системы в Эйлеровом скейлинговом пределе и вне его
    • Задача о свободном расширении системы свободных фермионов на прямой
    • Решение с помощью уравнений обобщенной гидродинамики
  5. Классическая и квантовая модель sinh-Gordon и ее описание в рамках обощенной гидродинамики
    • Классическая статистическая сумма
    • Спектр квантовых возбуждений, свободная энергия и корреляторы
    • Коореляционные этой функции на эйлеровом масштабе

Литература:

[D] Benjamin Doyon, Lecture notes on Generalised Hydrodynamics, arXiv:1912.08496
[E] Fabian Essler, A short introduction to Generalized Hydrodynamics, arXiv:2306.17072
[A] Vincenzo Alba et all, Generalized-Hydrodynamic approach to Inhomogeneous Quenches: Correlations, Entanglement and Quantum Effects, arXiv:2104.00656
[Z]Thermodynamic Bethe ansatz in relativistic models: scaling in 3-state pots and Lee-Yang models, Nuclear Physics B342 (1990) 695—720

Дискретные интегрируемые уравнения

Куратор:

Аннотация:
В курсе предлагается рассмотреть основы дискретных интегрируемых систем. Мы сосредоточимся на интегрируемых системах на квад-графах. Оказывается, что для определенного подкласса этих систем существует их полная классификация. В рамках курса данная классификация будет доказана. Начнем с одного из определений интегрируемости в дискретном случае и покажем, как из непрерывных интегрируемых систем получаются, дискретные и наоборот. Кроме того мы рассмотрим класс солитонных решений для дискретных уравнений

Пререквизиты:
Линейная aлгебра, желательно шапочное знакомство с непрерывными интегрируемыми системами, хотя бы на уровне знания уравнения КдФ или синус-Гордона.

  1. Связь дискретной и непрерывной интегрируемости [HJN, гл 1,2,5]

    • Преобразования Бэклунда интегрируемых систем, Примеры для уравнений Синус-Гордона и КдВ
    • Дискретные системы, получающиеся из них
    • Обратный переход из дискретных к непрерывным уравнениям
  2. Определение интегрируемости [HJN, гл. 3], [ABS], [ДА, гл. 2]

    • Согласованность вокруг граней куба
    • Интерпретация согласованности через уравнение нулевой кривизны, соотношение Янга-Бакстера
    • Классификация дискретных уравнений на квад-графах
  3. Доказательство ABS классификации [ABS], [ДА, гл. 2]
  4. Солитонные решения с помощью матриц Коши [HJN, гл. 9]

Литература:
[ABS] – V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris “Classification of Integrable Equations on Quad-Graphs. The Consistency Approach”
[HJN] – J. Hietarinta, N. Joshi, F. Nijhoff “Discrete systems and integrability”
[ДА]- В. Адлер “Классификация дискретных интегрируемых систем” (докторская диссертация)

Изучение 6-вершинной модели

Куратор:

Аннотация:
Вершинные модели (они же ice-type models) являются важным примером точнорешаемых моделей статистической физики. Сравнительно несложным, но интересным представителем класса вершинных моделей является 6-вершинная модель, демонстрирующая наличие нескольких нетривиальных фаз, а также критической точки. В этом модуле мы изучим определение и свойства 6-вершинной модели, а также на ее примере познакомимся с важными концептами интегрируемых систем, такими как $R$-матрица, $RLL$-алгебра, уравнение Янга-Бакстера и анзац Бете. В конце блока мы получим простейший пример
детерминантной формулы, а именно формулы Изергина для DWPF (Domain Wall Partition Function). Все изложенные в курсе понятия имеют широкие приложения и далекоидущие обобщения, встречающиеся в самых разных разделах математической и теоретической физики, а также алгебраической геометрии

Пререквизиты:
линейная алгебра, математический анализ, основы теории функций комплексного переменного, основы термодинамики и статистической физики (статсумма, свободная энергия, температура)

  1. Определение 6-вершинной модели [Reshetikhin, Zabrodin, Baxter, Slavnov, Pugai]
    • Статсумма и (ряд-в-ряд) трансфер-матрица 6-вершинной модели. $R$-матрица 6-вершинной модели, индексная запись
    • Коммутирующие трансфер-матрицы, задача совместной диагонализации
    • Уравнение Янга-Бакстера как условие интегрируемости, графическая интерпретация
    • Запись уравнения Янга-Бакстера в индексах, матричная запись
    • Связь $6$-вершинной модели с $XXZ$ цепочкой
  2. $RLL$-алгебра [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai]
    • Следствия уравнения Янга-Бакстера для коэффициентов, спектральный параметр, тригонометрические параметризации
    • $L$-оператор, $RLL$-алгебра, определяющие соотношения и графическая интерпретация
  3. Анзац Бете в 6-вершинной модели [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov, Pugai, Lashkevich]
    • Построение векторов Бете
    • Вывод уравнений Бете
    • Тривиальность случая $\Delta>1$, свободная энергия в этом случае
  4. Решение уравнений Бете в термодинамическом пределе для $\Delta<1$ [Reshetikhin, Zabrodin, Slavnov,
    Pugai, Lashkevich, free energy strict]

    • Термодинамический предел уравнений Бете, гипотеза о структуре нулей
    • Вывод свободной энергии в случаях $-1<\Delta<1$ и $\Delta<-1$
    • Фазовая диаграмма, обсуждение смысла фаз
  5. Детерминантная формула Изергина [garcia, Slavnov]
    • DWPF статсумма
    • Уменьшающее свойство и полюса статсуммы
    • Рекуррентные соотношения и вывод формулы Изергина

Литература:

[Pugai] Лекции Института Теоретической Физики им. Ландау
[Reshetikhin] Лекции Решетихина по 6-вершинной модели
[Zabrodin Лекции Забродина по анзацу Бете и интегрируемым системам
[Baxter] Exactly solvable models of statistical mechanics
[free energy strict] On the six-vertex model’s free energy
[Slavnov] Slavnov, «Algebraic Bethe Ansatz»