| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА | ДОКЛАДЫ |
Zoom / 1-7 мая 2021 г.
1. Суперсимметричная квантовая механика
Кураторы / Павел Гавриленко, Владимир Лосяков
Аннотация
Суперсимметричные модели теории поля – это хорошие игрушечные примеры, в которых удаётся получить больше ответов, чем обычно. Знакомство с суперсимметрией можно начинать с 0+1 случая, суперсимметричной квантовой механики. В ней уже видны многие основные явления, но при этом многое всё ещё можно посчитать руками и увидеть, как это работает. Кроме того, оказывается, что некоторые задачи обычной квантовой механики выглядят естественнее в рамках “суперсимметричного” подхода.
Пререквизиты
Квантование осциллятора. Частица со спином ½. Гауссов функциональный интеграл.
Доклады
= = Симметрии системы из n бозонных и m фермионных осцилляторов. Чётные и нечётные генерторы, коммутаторы/антикоммутаторы, тождества Якоби и Лейбница с коммутаторами и антикоммутаторами. Возникновение и определение супералгебры gl(m|n), её корневые образующие.
Куратор выдаст набор несложных задач по этой теме, которые нужно будет разобрать и рассказать.
= = Алгебра супер-Пуанкаре в 0+1 мерьи. Общие свойства: неотрицательность энергии, связь нарушения суперсимметрии с наличием нулевого уровня энергии, вырожденность уровней. N=2 суперсимметричная квантовая механика: гамильтониан и спектр суперсимметричного гармонического осциллятора.
[GK] раздел 2
[Sh] разделы 15.1, 15.2
= = Формализм функционального интеграла для суперсимметричной квантовой механики (вывод). Грассманово интегрирование, граничные условия для фермионов (разница между индексом и статсуммой). Суперпотенциал и потенциал, условие нарушения суперсимметрии.
[GK] разделы 3,4
= = Применение суперсимметричной квантовой механики для нахождения спектров всех классических точнорешаемых потенциалов: форм-инвариантность потенциала, построение серии суперсимметричных гамильтонианов.
[GK] раздел 3
[Sh] разделы 15.3, 15.4
= = N=1 суперсимметричная квантовая механика, операторы Дирака и Лапласа, гамма-матрицы в разных размерностях пространства.
Вычисление индекса оператора Дирака с помощью суперсимметричной квантовой механики.
[N] раздел 12.9
Литература
= = [GK] Л.Э. Генденштейн, И.В. Криве, Суперсимметрия в квантовой механике, УФН.
= = [N] M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics.
= = [Sh] Д. А. Шапиро, Представления групп и их применение в физике. Функции Грина.
2. Спонтанное нарушение симметрии
Кураторы / Иван Сечин, Владимир Лосяков
Аннотация
= = Спонтанное нарушение симметрии системы — это явление, которое происходит в случае, когда вакуумное состояние системы оказывается менее симметричным, чем вид потенциальной энергии. Такое спонтанное нарушение можно найти, например, в механике: шарик, который находится посередине между двумя симметричными ямами, рано или поздно под действием возмущений скатится в одну из них и спонтанно нарушит симметрию.
= = Механизм Хиггса, который дает массу частицам, объясняется именно спонтанным нарушением симметрии, а это в некотором смысле единственный механизм, который может дать хорошую (унитарную и перенормируемую) квантовую теорию с массивными векторными бозонами, которые наблюдаются на эксперименте и известны как W и Z бозоны.
= = Мы познакомимся со спонтанным нарушением симметрии в рамках классической теории поля и изучим разные примеры и явления, которые происходят при таком нарушении
Пререквизиты
фазовые переходы, распределение Гиббса, функция Грина для уравнения Лапласа, гауссовы интегралы.
Программа
= = Напоминание: основные понятия классической теории поля.
Вещественное и комплексное скалярные поля, лагранжиан и действие теории со скалярными полями. Глобальные симметрии действия: абелевы и неабелевы. Калибровочная локальная симметрия, калибровочное поле. Взаимодействие скалярного и калибровочного поля, скалярная электродинамика.
[R1] главы 2-4
[T1] глава 1
[BRW] глава 1
[PS] главы 2, 15
= = Спонтанное нарушение глобальных симметрий.
Спонтанное нарушение глобальной U(1) симметрии в теории с одним комплексным скалярным полем, возникновение безмассового голдстоуновского бозона. Частичное нарушение глобальной симметрии от группы G до ее подгруппы H. Теорема Голдстоуна. Примеры систем, в которых происходит такое частичное нарушение.
[R1] глава 5
[BRW] главы 2-3
[C] глава 5.2
= = Спонтанное нарушение калибровочных симметрий.
Скалярные поля в фундаментальном и в присоединенном представлении калибровочной группы, механизм Хиггса. Нарушение симметрии в электрослабой теории, появление массы у W- и Z-бозонов.
[R1] глава 6
[BRW] глава 7
[C] глава 5.2
[PS] глава 20
= = Фермионы.
Фермионные поля, действие для фермионов. Уравнение Дирака, его связь с уравнением Клейна-Гордона. Фермионы, взаимодействующие со скалярным и с калибровочным полем. Появление массы у фермионов через механизм Хиггса.
[R2] глава 1
[T1] глава 4
[PS] глава 3
= = Пи-мезоны как голдстоуновские бозоны. (два доклада)
SU(N_c) калибровочная теория с N_f безмассовыми фермионами-кварками, глобальная симметрия SU(N_f)xSU(N_f) и ее нарушение до диагональной подгруппы SU(N_f)_V кварковым конденсатом. Эффективный киральный лагранжиан для пионов.
(*) Учет ненулевых масс кварков, возникновение массы пионов.
(*) Скирмион как модель бариона.
[R1] главы 5.5, 7.5
[T2] глава 5
[PS] глава 19.3
Литература
= = [BRW] A.Beekman, L.Rademaker, J.Wezel. An Introduction to Spontaneous Symmetry Breaking, https://arXiv.org/abs/1909.01820
= = [C] S.Coleman. Aspects of Symmetry.
= = [PS] М.Пескин, Д.Шредер. Введение в квантовую теорию поля.
= = [R1] В.Рубаков. Классические калибровочные поля. Бозонные теории.
= = [R2] В.Рубаков. Классические калибровочные поля. Теории с фермионами. Некоммутативные теории.
= = [T1] D.Tong. Lectures on Quantum Field Theory, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft.html
= = [T2] D.Tong. Lectures on Gauge Theory, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html
3. Целочисленные многогранники и алгебраическая геометрия
Куратор / Федор Селянин
Аннотация
= = Любому многочлену от нескольких переменных можно сопоставить многогранник Ньютона: выпуклую оболочку показателей ненулевых мономов. Оказывается многие свойства полиномов и задаваемых ими многообразий можно описать при помощи этих многогранников. Это очень красивые результаты, также они часто используются в других областях математики и математической физики.
= = Темы 1-4 связаны и в них перемежаются сюжеты из геометрии многогранников (1, 4i) и их алгебро-геометрические интерпретации (2, 3, 4ii). Точнее, тема 2 связана с задачей о числе корней в торе типичной системы из n полиномов от n переменных с заданными многогранниками Ньютона. Доказательство этой теоремы и её обобщений удобно интерпретировать на языке торических многообразий (тема 3). Тема 4 посвящена дискриминанту (поверхности в пространстве коэффициентов полиномов, которой соответствуют сингулярные многообразия), здесь мы следуем классической книге Гельфанда-Капранова-Зелевинского. В частности, мы покажем, что многогранник Ньютона дискриминанта является вторичным многогранником.
= = Темы 5,6 – несколько обособленные сюжеты из геометрии выпуклых целочисленных многогранников (с вершинами в целочисленной решетке).
Пререквизиты:
Гладкие многообразия, аффинная геометрия, конусы. Также для некоторых тем хорошо бы (но не обязательно) знать лемму Сарда и иметь начальные представления об алгебраической геометрии (на уровне понятия идеала и теорема Гильберта о нулях).
Программа
= = Опорные функции, смешанный объем выпуклых тел.
[EG] – параграф 1.4-1.5; 4.1, 4.3-4.4
[EA2] – лемма 1.2
= = Многогранники Ньютона полиномов, Теорема Кушниренко-Бернштейна о числе решений полиномиальной системы в торе, пример применения: размерность алгебры Якоби.
[B]
[M] – лемма об отборе кривых
= = Комплексный тор, его характеры и однопараметрические подгруппы, изоморфизмы стандартных торов, торические компактификации, примеры.
[KH] – параграф 1
= = Дискриминанты, результанты и многомерные детерминанты.
= = = = 1. Выпуклые разбиения многогранника, вторичный многогранник, примеры, интерпретация вершин и ребер вторичного многогранника.
[GKZ] – глава 7
= = = = 2. A-детерминант и A-дискриминант, их многогранники Ньютона.
[GKZ] – глава 7,8
[EA1] – параграфы 1.7-1.10
Литература
= = [A] В. И. Арнольд, Статистика целочисленных выпуклых многоугольников
= = [B] Д. Н. Бернштейн, Число корней системы уравнений
= = [M] Милнор Д. Особые точки комплексных гиперповерхностей
= = [KH] А. Г. Хованский, Многогранники Ньютона и торические многообразия
= = [EA1] А. И. Эстеров, Тропическая теория особенностей и геометрия многочленов с неопределенными коэффициентами
= = [EA2] А. И. Эстеров, Newton polyhedra of discriminants of projections.
= = [EG] Ewald G, Combinatorial convexity and algebraic geometry
= = [GKZ] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky, Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants
= = [HNP] Haase C, Nill B., Paffenholz A., Lecture Notes on Lattice Polytopes
4. Матричные модели, ортогональные полиномы и шестивершинная модель
Куратор / Игорь Шендерович
Аннотация
Матричная модель — «игрушечная» теория поля, в которой фейнмановские правила получаются довольно просто, а все диаграммы (по крайней мере в планарном пределе) имеют довольно понятный комбинаторный смысл. Фактически мы имеем дело с дискретной версией функционального интеграла. Оказывается, для него (и для соответствующих корреляционных функций) есть явные ответы — через детерминанты, в которых стоят ортогональные многочлены, построенные по определённой мере. Эти выражения могут быть полезны как сами по себе, так и для вычисления разных асимптотик — например, в связи с вычислением статсуммы шестивершинной модели.
Программа
= = Мотивация для изучения матричных моделей: фейнмановские диаграммы матричной модели как перечисление карт; планарный предел.
[Bessis-Itzykson-Zuber’80]
= = Связь матричных моделей и ортогональных полиномов.
[Mehta’04]
[Bleher’08]
= = Детерминатные формулы для ортогональных полиномов.
[Eynard’18]
= = Матричные модели и 6-вершинная модель. Ферроэлектрический и неупорядоченный случай.
[Zinn-Justin’00]
= = Антиферроэлектрический случай.
[Zinn-Justin’00].
Литература
= = [Bessis-Itzykson-Zuber’80] D Bessis, C Itzykson, J.B Zuber, Quantum field theory techniques in graphical enumeration, Advances in Applied Mathematics, Volume 1, Issue 2, 1980.
= = [Mehta’04] M L Mehta, Random matrices, 3rd Edition, 2004
= = [Bleher’08] Pavel M. Bleher, Lectures on random matrix models. The Riemann-Hilbert approach. https://arxiv.org/abs/0801.1858
= = [Zinn-Justin’00] P. Zinn-Justin, Six-vertex model with domain wall boundary conditions and one-matrix model, Phys. Rev. E 62, 3411
= = [Eynard’18] Bertrand Eynard, Taro Kimura, Sylvain Ribault lectures on Random matrices at IPhT, Saclay https://arxiv.org/abs/1510.04430
5. Алгебраические кривые и интегрируемость
Кураторы / Михаил Васильев, Вадим Прокофьев
Аннотация
Уравнение Кортевега-де-Фриза — самое известное нелинейное интегрируемое уравнение в частных производных. Оно имеет большое число законов сохранения и являются частями интегрируемых иерархий. Оказывается, что целый класс периодических решений этого уравнения, конечнозонные решения, могут быть получен с использованием алгебро-геометрического метода. Основной объект для построения таких решений — функции Бейкера-Ахиезера, мероморфные функции с определенной существенной особенностью, заданные на комплексной алгебраической кривой, то есть на римановой поверхности.
Мы изучим основные необходимые понятия из теории римановых поверхностей, которые применяются для построения конечнозонных решений: циклы и голоморфные дифференциалы на кривой, тэта-функции, якобиан и отображение Абеля.
Пререквизиты
Основы ТФКП, дифференциальные формы.
Программа
= = Уравнение Кортевега-де-Фриза (КдФ). Представление Лакса и вспомогательная линейная задача для уравнения КдФ. Понятие о конечнозонных решениях. Солитон — решение уравнения КдФ в виде бегущей волны. Понятие об иерархии КдФ и интегралах движения. Уравнение Кадомцева-Петвиашвили (КП), представление Лакса и вспомогательная линейная задача для него. Понятие об иерархии КП.
[ЗМНП] параграф 1
[Д1]
[Z] 2-3
[BBT] 10.1-10.2, 11.1-11.2, 11.4
= = Определение римановой поверхности. Примеры римановых поверхностей: сфера Римана, риманова поверхность корня и логарифма, (гипер)эллиптическая кривая. Компактная риманова поверхность = сфера с g ручками, род римановой поверхности. Формула Римана-Гурвица, вычисление рода гиперэллиптической кривой. Склейка двумерных поверхностей из многоугольников. Циклы компактной римановой поверхности, каноническая форма пересечения.
[Д3] лекции 1-2
[КЛП] глава 1
[ЗМНП] параграф 6
= = Голоморфные дифференциалы на компактной римановой поверхности. Циклы компактной римановой поверхности, каноническая форма пересечения. Периоды голоморфных дифференциалов, билинейное тождество Римана. Тэта-функции на римановой поверхности, пример для тора. Многообразие Якоби римановой поверхности, отображение Абеля.
[Д2] главы 1-2
[Д3] лекции 3-4
[КЛП] глава 12
[ЗМНП] параграфы 6-7
[BBT] 5.5
= = Мероморфные функции на компактной римановой поверхности. Дивизоры, канонический дивизор. Пространство мероморфных функций с данным дивизором, примеры: дивизор с одной точкой (мероморфные функции с единственным полюсом n-го порядка), неспециальные дивизоры, специальные дивизоры. Понятие о теореме Римана-Роха. Одноточечная функция Бейкера-Ахиезера, ее единственность с точностью до умножения на константу. Существование функции Бейкера-Ахиезера.
[Д2] главы 2-3
[ЗМНП] параграф 8
[BBT] 5.6
= = Вывод вспомогательной линейной задачи при помощи функции Бейкера-Ахиезера. Решение уравнения КдФ (формула Матвеева-Итса). Вырождение римановых поверхностей и многосолитонные решения.
[ЗМНП] параграфы 9-10
[BBT] 11.5-11.6
Литература
= = [ЗМНП] Захаров, Манаков, Новиков, Питаевский. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Глава 2
= = [Д1] Б.А. Дубровин. Периодическая задача для уравнения Кортевега–де Фриза в классе конечнозонных потенциалов.
= = [BBT] Babelon, Bernard, Talon. Introduction to Classical Integrable Systems
= = [Д2] Дубровин. Тэта-функции и нелинейные уравнения
= = [Д3] Дубровин. Римановы поверхности и нелинейные уравнения
= = [КЛП] Казарян, Ландо, Праслов. “Алгебраические кривые. По направлению к пространствам модулей.
= = [Z] Zabrodin. Lectures on nonlinear integrable equations and their solutions http://arxiv.org/abs/1812.11830v1
Дополнительно:
= = Лекции Кричевера: https://www.youtube.com/playlist?list=PLLGkFbxve672AOMaYwSTrqFRBc00ZnQmb
= = Лекции Гриневича: http://www.mathnet.ru/conf1711
6. Изомонодромные деформации и явление Стокса
Кураторы / Илья Гаюр, Антон Щечкин
Аннотация
В данном курсе объектом нашего изучения будут монодромии плоских связностей с особенностями на римановых поверхностях (в простейшем случае – на сфере Римана). Плоские связности с фуксовыми особенностями – простейшее обобщение плоских связностей – описываются инвариантным объектом, называемым монодромией, а именно – представлением фундаментальной группы римановой поверхности с проколами, задаваемым нашей связностью (это описания называется проблемой Римана-Гильберта). Поэтому естественно изучать такие деформации нашей связности, которые сохраняют монодромию. В простейшем нетривиальном случае связности ранга 2 на сфере без 4-х точек такая задача сводится к уравнению Пенлеве VI – важнейшему нелинейному ОДУ.
В этом курсе мы изучим с разных сторон свойства изомонодромных деформаций: получим уравнения Шлезингера, которые их описывают, изучим гамильтонов характер этих уравнений, научимся строить частные решения этих уравнений. В конце мы изучим расширение понятия монодромии на иррегулярные особенности – т. н. явление Стокса, прикладная суть которого заключается в том, что асимптотика предела от общего решения ОДУ не совпадает с пределом асимптотики этого решения.
Пререквизиты
Теория линейных ОДУ, гамильтонова механика, ТФКП. Желательно, но не обязательно, уметь писать на Wolfram Mathematica.
Программа
= = Локальные решения, монодромия, вывод деформационных уравнений – уравнения Шлезингера+ автономный предел. Рассмотрение случаев sl_2 (2, 3, 4 точки) в Математике.
[5] разделы 1-2: некоторые общие опредления и утверждения, раздел 4: p. 0 (в общих чертах, то что нужно для регулярных фуксовых особенностей), 1, 2.1-2.3 (до треугольного случая невключительно).
[2] лекции 13-18
[4] раздел 2.1
= = Гамильтонова формулировка уравнений Шлезингера как системы на ко-присоединнённых орбитах, случай 4 точек и sl_2 — фазовое пространство уравнения Пенлеве VI. (*) Изомонодромные тау-функции как производящие функции гамильтонианов уравнений Шлезингера, их свойства.
[1] разделы 3, 4
[4] разделы 2.1, 2.2
= = Специальные решения уравнений Шлезингера как следствие приводимой монодромии:
Треугольный случай
Классификация алгебраических решений Пенлеве VI: общая идея и примеры. Специальные решения для уравнения Пенелеве II. Преобразования Беклунда-Шлезингера.
[5] стр. 148-151
[3]
= = Явление Стокса как монодромия в иррегулярном случае с примерами – PII, PI.
[5] разделы 4.2.5 и 5.2
Литература:
= = [1] М. В. Бабич, О канонической параметризации фазо- вых пространств уравнений изомонодромных деформа- ций фуксовых систем размерности 2 x 2. Вывод уравне- ния Пенлеве VI, УМН, 2009, том 64, выпуск 1(385), 51– 134
= = [2] А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений
= = [3] B. Dubrovin, M. Mazzocco, Monodromy of certain Painleve’ VI transcendents and reflection groups, https://arxiv.org/abs/math/9806056
= = [4] O. Gamayun, N. Iorgov, O. Lisovyy, Conformal field theory of Painlev´e VI, JHEP 1210, (2012), 38; https://arxiv.org/abs/1207.0787
= = [5] A. Fokas, A. Its, A. Kapaev, V. Novokshenov, Painlev´e transcendents: the Riemann-Hilbert approach, Mathematical Surveys and Monographs 128, AMS, Providence, RI, (2006)
7. Кристаллы Кашивары и комбинаторика разбиений и таблиц
Куратор / Леонид Рыбников
Аннотация
Кристаллы Кашивары являются комбинаторной моделью конечномерных представлений полупростых алгебр Ли. Более точно, кристаллом конечномерного представления данной алгебры Ли g является множество, индексирующее некоторый специальный базис соответствующего представления квантовой группы U_q(g), на котором образующие Шевалле e_i задают структуру ориентированного графа, ребра которого размечены простыми корнями алгебры Ли. Кристаллы являются очень интересным и важным комбинаторным объектом, естественным образом содержащим в себе, в частности, такие нетривиальные комбинаторные конструкции с таблицами Юнга как соответствие RSK и инволюции Шютценберже. Мы попытаемся разобраться в том, как это работает.
Кристаллы, связанные с данной алгеброй Ли, образуют моноидальную категорию, т.е. на них определена операция тензорного произведения. Тензорное произведение кристаллов несимметрично – однако тензорные произведения двух кристаллов в разных порядках изоморфны при помощи некоторого функториального изоморфизма, называемого коммутором. Эта структура похожа на braiding в категории представлений квантовой группы (и, фактически, происходит из нее), однако соотношению группы кос коммуторы не удовлетворяют. В частности, на тензорной степени данного кристалла всевозможные коммуторы порождают не действие группы кос B_n, а действие другой группы J_n, называемой кактусной группой – фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда пространства модулей вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченными точками. Мы попытаемся разобраться, как устроено действие кактусной группы на полустандартных таблицах и описать его в терминах кусочно-линейных преобразований целочисленных многогранников.
Темы относящиеся к теории представлений квантовой группы ниже выделены звездочкой, возможно они будут опущены, чтобы сделать курс чисто комбинаторным.
Программа
= = (*) Диаграммы Юнга. Стандартные таблица, полустандартные таблицы, биекция с таблицами Гельфанда Цетлина. Фунции Шура как суммы по полустандартным таблицам, их симметричность из инволюций Бендера-Кнута. Формулы крюков. (*) Связь с теорией представлений.
= = Аксиоматическое определение кристаллов. Комбинаторное определение тензорного произведения. Нормальные кристаллы. Теорема Джозефа (формулировка и доказательство (*) в типе А).
= = Реализация кристаллов типа А на полустандартных таблицах. Алгоритм Робинсона-Шенстеда как комбинаторный аналог двойственности Шура-Вейля. Алгоритм Робинсона-Шенстеда-Кнута как комбинаторный аналог двойственности Хау.
= = Инволюция Шютценберже. Кристаллический коммутор. Кограничные моноидальные категории. (*) Определение коммутора через унитаризацию Дринфельда.
= = Кактусная группа как аналог группы кос в кограничных категориях. Реализация кактусной группы как фундаментальной группы компактификации Делиня-Мамфорда.
= = Действие кактусной группы на (полу)стандартных таблицах при помощи инволюций Бендера-Кнута.
Литература
= = [BS] Daniel Bump and Anne Schilling. Crystal Bases: Representations And Combinatorics
= = [S]. Alistair Savage. Braided and Coboundary Monoidal Categories https://alistairsavage.ca/pubs/savage-2009-conm9448-braided-coboundary-categories.pdf
= = [HK] Andre Henriques, Joel Kamnitzer. Crystals and coboundary categories, https://arxiv.org/abs/math/0406478
= = [B] Crystals and RSK (notes by Daniel Bump) http://sporadic.stanford.edu/crystals/ind1_1.html
8. Теория Сачдева-Йе-Китаева
Куратор /Алексей Лункин
Аннотация
Модель SYK, предложенная Алексеем Китеваым в 2015 году, привлекла к себе большое внимания по ряду причин. Во-первых, эта модель эквивалента двумерной теории Джекива-Тейтельбойма. Во-вторых, модель точно решаема на низкоэнергетических масштабах. В-третьих, с точки зрения ферми-систем, эта модель демонстрирует крайне необычные свойства. В-четвертых, показатель Ляпунова в модели SYK достигает максимально возможного значения.
В рамках курса будет разобраны базовые методы и основные результаты, связанные с этой моделью.
Пререквизиты:
Квантовая механика многих частиц, интеграл по траекториям, базовые знания диф.геометрии
Программа
= = Модель SYK. Седлове решение. Флуктуации около седла. Действие для мягкой моды.
[KS1] разделы 1-2
= = Действие для мягкой моды. Out-of-time-order correlators. Функция Грина в модели SYK в пределе нулевых температур.
[KS1] раздел 3.
[BAK]
= = Представление модели SYK как диффузии на гиперболической плоскости.
[KS2] разделы 1-2 и вывод уравнение на пропагатор из раздела 3
= = Вычисление функции Грина при конечной температуре.
[KS2] раздел 3, раздел 5 частично
Литература
= = [KS1] Alexei Kitaev, S. Josephine Suh. The soft mode in the Sachdev-Ye-Kitaev model and its gravity dual.
= = [BAK] Dmitry Bagrets, Alexander Altland, Alex Kamenev. Sachdev-Ye-Kitaev Model as Liouville Quantum Mechanics
= = [KS2] Alexei Kitaev, S. Josephine Suh. Statistical mechanics of a two-dimensional black hole
9. Вырождения Грёбнера многообразий флагов
Кураторы / ПЕвгений Македонский, Игорь Махлин
Аннотация:
Одной из красивых тем в современной теории Ли является построение плоских вырождений многообразий флагов и связанных с ними многообразий. У этой дисциплины пока нет унифицирующей теории, она, скорее, представляет из себя ассорти конструкций родом из самых разных задач геометрии, теории представлений и комбинаторики. Эти конструкции, однако же, обнаруживают множество общих свойств, в частности, пожалуй, все известные вырождения являются грёбнеровскими, т.е. задаются начальным идеалом или присоединенной градуированной алегброй. Цель серии докладов — познакомить слушателей с некоторыми из наиболее простых и известных результатов в этой области.
Пререквизиты:
Мы надеемся, что в докладах будут даны напоминания по всем основным теоретическим вопросам. Тем не менее, полезно иметь базовое знакомство с классическими многообразиями флагов, торическими многообразиями и теорией представлений GLn.
Программа
= = Вводный. Начальные идеалы и вырождения Грёбнера, многообразия флагов, проективные торические многообразия. Стандартные сведения из разных книг, например, [S, глава 1], [HH, глава 3], [F, глава 9], [CLS, глава 2].
= = Торическое вырождение Гончиулеа-Лакшмибаи/Когана-Миллера и его связь с многогранником Гельфанда-Цетлина. Cкорее всего, по [MS, глава 14], но также см. [GL] и [KM, разделы 1-3].
= = Полуторические вырождения многообразий Шуберта по [KM]: многообразия Шуберта, пайпдримы, грани Когана, формулировка основной теоремы.
= = Тут есть два варианта.
= = = = Доказательство теоремы Когана-Миллера. Сложно: доказательство в статье — одна большая дырка, нужно изучать [KnM] (или [MS,главы 15-16]) и додумывать.
= = = = Последний раздел в [KM]: связь торического вырождения с базисом Гельфанда-Цетлина (нужно ввести сам базис, теорему Бореля-Вейля, линейные расслоения на торических многообразиях. желательно, чтобы у докладчика было какое-то представление об этих вопросах).
= = Абелево вырождение многообразия флагов (оно же ПБВ-вырождение) Фейгина — [Fe].
Литература:
= = [CLS] D. Cox, J. Little, H. Schenck, Toric Varieties
= = [F] W. Fulton, Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry
= = [Fe] E. Feigin, degeneration of flag varieties, https://arxiv.org/abs/1007.0646
= = [HH] J. Herzog, T. Hibi, Monomial Ideals
= = [GL] N. Gonciulea, V. Lakshmibai, Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties
= = [KnM] A. Knutson, E. Miller, Gröbner geometry of Schubert polynomials, https://arxiv.org/abs/math/0110058
= = [KM] M. Kogan, E. Miller, Toric degeneration of Schubert varieties and Gel’fand-Cetlin polytopes, https://arxiv.org/abs/math/0303208
= = [MS] E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial Commutative Algbera
= = [S] B. Sturmfels, Gröbner Bases and Convex Polytopes
10. Wall-crossing формулы
Куратор / Николай Семенякин
Аннотация:
Точное описание низкоэнергетических свойств N=2 суперсимметричных калибровочных теорий в терминах дифференциалов на римановых поверхностях, обнаруженное в середине 90х Н.Зайбергом и Э.Виттеном, было одним из ключевых результатов того периода развития теории струн. Такое описание дало, в частности, возможность увидеть, как спектр безмассовых возбуждений низкоэнергетической теории перестраивается при переходе её параметров через некоторые “стенки” на фазовой диаграмме. Настоящая тема посвящена обсуждению способа подсчёта кратностей этих состояний, предложенного Д.Гайотто, Г.Муром и А.Нецке в серии статей, и их связи с аналогичными структурами, которые были обнаружены М.Концевичем и Я.Сойбельманом в алгебраической геометрии и В.Фоком и А.Гончаровым в теории кластерных алгебр.
Пререквизиты:
Суперсимметричные калибровочные теории, основы геометрии римановых поверхностей
Программа
= = N=2 суперсимметричные калибровочные теории в 4d. Электромагнитная дуальность, защищённость спектра BPS частиц, теория Зайберга-Виттена. Спектр частиц в режиме сильной и слабой связи для SU(2) теории без материи, перестройка состояний на кривой маргинальной стабильности.
[SW]
[FB1]
[FB2]
= = Компактификация 4d теории на окружность, эффективное действие в терминах гиперкэлеровой метрики, её пертрубативная часть и поправки от 4d BPS частиц. Вычисление метрики в терминах голоморфных координат Дарбу. Гипотеза Концевича-Сойбельмана и непрерывность метрики на кривой маргинальной стабильности как её следствие.
[GMN1]
= = (*) Теория Зайберга-Виттена для 4d N=2 калибровочной теории как компактификация 6d (2,0) теории на риманову поверхность. Описание в терминах системы Хитчина из перестановки порядка компактификаций. Интерпретация BPS состояний как бран на специальных лагранжевых циклах, их описание в терминах вещественных орбит дифференциала Зайберга-Виттена. Перестройки спектральных сетей.
[GMN2]
[W]
[KLMVW]
= = Система Хитчина как гиперкэлеров фактор, зависимость от комплексного параметра стабильности. Гиперкэлерова метрика. Описание голоморфных координат Дарбу в пределе малого параметра стабильности при помощи WKB (спектральных) сетей. Плоские связности на кривой из системы Хитчина, координаты Фока-Гончарова, связь мутаций триангуляции с преобразованиями Концевича-Сойбельмана. Триангуляции Фока-Гончарова из спектральных сетей.
[GMN2]
Литература
= = [FB1] F. Ferrari, A. Bilal. The Strong-Coupling Spectrum of the Seiberg-Witten Theory. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9602082.pdf
= = [FB2] F. Ferrari, A. Bilal. Curves of Marginal Stability, and Weak and Strong-Coupling BPS Spectra in N=2 Supersymmetric QCD. https://arxiv.org/pdf/hep-th/9605101.pdf
= = [GMN1] D. Gaiotto, G. W. Moore, A. Neitzke. Four-dimensional wall-crossing via three-dimensional field theory. https://arxiv.org/pdf/0807.4723.pdf
= = [GMN2] D. Gaiotto, G. W. Moore, A. Neitzke. Wall-crossing, Hitchin Systems, and the WKB Approximation. https://arxiv.org/pdf/0907.3987.pdf
= = [KLMVW] Klemm, W. Lerche, P. Mayr, C. Vafa, N. Warner. Self-Dual Strings and N=2 Supersymmetric Field Theory. https://arxiv.org/abs/hep-th/9604034v3
= = [SW] N. Seiberg, E. Witten. Monopole Condensation, And Confinement In N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. https://arxiv.org/abs/hep-th/9407087
= = [W] E. Witten. Solutions Of Four-Dimensional Field Theories Via M Theory. https://arxiv.org/abs/hep-th/9703166