Рабочий семинар по средам – арХив осень2024

Рабочий семинар по Математической физике
НИУ Высшей школы экономики и Центра перспективных исследований им. И.М.Кричевера
по средам в 16.20 в аудитории 110 факультета математики ВШЭ

11 декабря 2024 г.
Кирилл Матирко (Сколтех, унив. ВШЭ)
Дважды унитарные операторы и алгебры Хопфа

Я расскажу о классе моделей спиновых цепочек с так называемым дважды унитарным оператором эволюции. В качестве мотивации для изучения таких систем я приведу и докажу тот факт, что в них точно считаются любые двухточечные корреляционные функции локальных наблюдаемых. Затем мы перейдём к рассмотрению подкласса систем, в которых оператор эволюции строится по произвольной C* алгебре Хопфа, докажем корректность этой конструкции и обсудим некоторые другие свойства таких систем, вроде существования конечного MPO для произвольной наблюдаемой, разберём некоторые примеры

4 декабря 2024 г.
Виктор Мишняков (Nordita, Стокгольмский унив.)
На пути к полному пертурбативному решению фишнет теории

Сюжет моего рассказа лежит на пересечении двух бурно развивающихся областей теоретической физики: интегрируемости в квантовой теории поля и вычисления Фейнмановских интегралов. Один из важных игроков здесь это фишнет-теория – недавно сформулированная КТП, обладающая множеством замечательных свойств, но заметно более простая, чем, например, более типичная суперсимметричная теория Янга-Миллса. Я расскажу о многопетлевых Фейнмановских диаграммах этой теории, они имеют форму рыболовной сети (fishnet) и обладают расширенной симметрией, предположительно позволяющей вычислить их все. Симметрия выражается в виде дифференциальных уравнений, что делает это обсуждение частью большого проекта по изучению метода дифференциальных уравнений для вычисления многопетлевых Фейнмановских диаграмм. Я покажу, что эти уравнения можно свести к известным в математике уравнениям Гельфанда-Капранова-Зелевинвского и отмечу дальнешие перспективы

27 ноября 2024 г.
Федор Селянин (Сколтех, унив. ВШЭ)
Задача Арнольда о монотонности числа Ньютона

Число Милнора особенности комплексной гиперповерхности – это то, на сколько меняется Эйлерова характеристика при возникновении данной особенности. Многогранником Ньютона многочлена называется выпуклая оболочка показателей его ненулевых мономов. Знаменитая теорема Кушниренко вычисляет число Милнора особенности в терминах многогранника Ньютона, если коэффициенты общего положения. Соответствующее функция многогранника называется числом Ньютона. Задача Арнольда о монотонности состоит в том, чтобы исследовать монотонность числа Ньютона при увеличении многогранника. Я расскажу о своих результатах в этом направлении ( arXiv:2006.11795 ) и о связи этой задачи со следующими классическими гипотезами. Гипотеза о монодромии связывает подсчет числа решений полиномиального уравнения по модулю p^m с геометрий его особенностей. Гипотеза Ле-Рамануджама утверждает, что топология особенности не меняется внутри страта mu = const.
Примечательно, что с помощью теоремы Кушниренко Хо доказал унимодальность коэффициентов хроматического полинома любого графа

20 ноября 2024 г.
Николай Борозенец (Сколтех, унив. ВШЭ)
Mock тэта-фукнции Рамануджана и общее понятие mock модулярности

Рамануджан в своем последнем письме к Харди привел 17 примеров q-гипергеометрических рядов, которые имели свойства, близкие к тэта-функциям, но не являлись ими. На докладе будет рассказано как Ватсон в своей знаменитой лекции “The Final Problem”, прочитанной по случаю его ухода с поста президента Лондонского математического общества в 1935 году, вывел модулярные преобразования mock тэта функций с модулярными поправками в виде интегралов Морделла. Много лет спустя, в 2001 году Цвегерс проинтерпретировал данные модулярные поправки в виде интегралов Эйхлера, что дало возможность Загиру определить общее понятие mock модулярной формы, и как следствие, исследователям увидеть явление mock модулярности во многих объектах, приходящих из других областей, в частности, теории представлений и математической физики

6 ноября 2024 г. .
Петр Пивоваров (унив. ВШЭ)
R-матричные представления группы кос и процедура fusion

R-матричные представления группы кос $B_n$ – особый класс представлений группы кос в пространстве $V^{\otimes n}$. Определяются они с помощью R-матриц – автоморфизмов пространства $V^{\otimes 2}$, удовлетворяющих уравнению Янга-Бакстера.
Первые примеры R-матриц возникли при исследовании интегрируемых моделей статистической физики и теории поля. Как выяснилось, уравнения Янга-Бакстера отвечают за интегрируемость моделей статистической физики, квантовой механики, теории стохастических процессов, и позволяют получать важную информацию об их поведении. В связи с этим начался поиск новых интересных примеров R-матриц.
Для построения новых R-матриц существует три основных подхода: первый – прямое решение уравнения Янга-Бакстера (таким способом были получены классификации R-матриц для случаев dimV = 2 или 3), второй – с помощью представлений квантовых групп, а третий – с помощью процедуры fusion.
В своем докладе я расскажу про первый и третий подходы. Мною будет предъявлен анзац, упрощающий решение уравнения Янга-Бакстера, описана общая процедура fusion для R-матриц со спектральным параметром, а также приведена, по-видимому, новая серия R-матриц и бакстеризация первых ее членов

30 октября 2024 г.
Игорь Фёдоров (Сколтех, унив. ВШЭ)
Суперструнная мера для рода 3, (2/2)

23 октября 2024 г.
Алексей Бычков (Сколтех, унив. ВШЭ)
O(N)-модели: деформации, дуальность, интегрируемость

В конформную теорию можно добавить специальный набор релевантных операторов без потери интегрируемости. Широкий класс таких интегрируемых возмущений содержит гравитонные операторы с весами, кодируемых диаграммами типа Дынкина. При этом по одной диаграмме можно построить два разных интегрируемых возмущения.
На примерах диаграмм с шестью и восемью вершинами мы покажем, что оба выбора релевантных операторов соответствуют двум различным деформациям сигма-модели сферы S^n при n = 5 и n = 7. Будет продемонстрировано, что оба выбора релевантных операторов отвечают (разным) решениям обобщённого уравнения Риччи. Более того, первое решение соответствует сигма-модели Янга-Бакстера; природа второй же деформации не ясна. Она, несомненно, тоже интегрируема, но, возможно, является новой

16 октября 2024 г.
Игорь Фёдоров (Сколтех, унив. ВШЭ)
Суперструнная мера для рода 3, (1/2)

Я буду рассказывать о суперформе Мамфорда; это определённая форма объёма на пространстве модулей суперримановых поверхностей данного рода, являющаяся “голоморфной частью” суперструнной меры, аналогичной мере Полякова для бозонных струн. Для вычислений суперструнных амплитуд хочется иметь явные формулы для суперформы Мамфорда. Для родов 1 и 2 есть формулы через матрицы периодов. Для рода 3 явная формула неизвестна (точнее, в 2008 году Каччьятори, Далла Пьяцца и ван Хеемен предложили анзац, но Виттен в 2015 привел аргументацию, что этот анзац – это не то, что нужно). Я пытаюсь найти формулу для “старшей” компоненты суперформы Мамфорда для рода 3; пока не нашёл, но собираюсь рассказать о частичных результатах в этом направлении (в определенных предположениях мной доказано, что ответ представляется как некоторая линейная комбинация трёх известных явно выражений)

9 октября 2024 г.
Михаил Трошкин (унив.ВШЭ)
Преобразование Бэклунда-Дарбу для иерархии КП

Преобразования Бэклунда-Дарбу позволяют по одному решению некоторого дифференциального уравнения строить новые его решения. Я расскажу про пример такого преобразования для иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Я планирую обсудить его явное действие в различных представлениях решений КП (оператор Лакса, тау-функция, точка грассманиана Сато) и связь с иерархией мКП, а также приложения к теории пересечений на пространствах модулей кривых

2 октября 2024 г.
Максим Грицков (Сколтех, унив.ВШЭ)
Функториальный подход к квантовой теории поля, (2/2)

18 сентября 2024 г.
Максим Грицков (Сколтех, унив.ВШЭ)
Функториальный подход к квантовой теории поля, (1/2)

Мы рассмотрим функториальный подход к квантовой теории поля (FQFT). Ключевой особенностью этого подхода является отсутствие ультрафиолетовых расходимостей. В рамках FQFT мы покажем что локальные наблюдаемые возмущенной теории удовлетворяют уравнениям Каллана-Симанчика, в которых естественным образом возникает бегущая константа связи. Мы продемонстрируем неожиданную аналогию между дифференциальной геометрией и квантовой теорией поля, в рамках которой станет понятен геометрический смысл бета-функции