Рабочий семинар по Математической физике
НИУ Высшей школы экономики и Центра перспективных исследований им. И.М.Кричевера
по средам в 16.20 в аудитории 110 факультета математики ВШЭ
В докладе будет рассмотрено минимальное вложение со свободной границей k-мерных геодезических шаров в n-мерные шары в случае евклидового, гиперболического пространства и сферы. Минимальные многообразия-это критические точки функционала объема. Чтобы понять, является ли наше подмногообразие минимизирующим объем мы рассмотрим вторую вариацию оъема. Мы будем рассматривать индекс Морса, который равен количеству линейно независимых векторных полей, вдоль которых вторая вариация функционала объема отрицательна.
Доказано, что индекс (Морса) k-мерного геодезического шара в n-мерном шаре равен (n−k). В ходе доказательства этого утверждения рассматриваются такие понятия как спектральный индекс и вторая вариация функционала энергии
Статические многообразия с краем были недавно введены Крузом и Виторио в контексте задачи о предписанной скалярной кривизне на многообразии с краем с заданной средней кривизной [CV19]. Эти многообразия также представляют интерес с точки зрения общей теории относительности, где они возникают как статические пространства–времена, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна.
В этом докладе мы вводим электростатические многообразия с краем как естественное обобщение статических многообразий с краем в присутствии нетривиального электрического поля. Мы изучаем их общие свойства и доказываем теоремы единственности для некомпактного случая, устанавливая связь между электростатическими многообразиями с краем и многообразиями Рейсснера–Нордстрема.
Доклад основан на совместной статье с В.О. Медведевым [DM25].
[CV19] T. Cruz and F. Vitorio. Prescribing the curvature of Riemannian manifolds with boundary. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 58(4):124, 2019
[DM25] S. Demurov and V. Medvedev. On electrostatic manifolds with boundary
Будет изложена конструкция R-матрично значного представления Лакса для системы Калоджеро-Иноземцева. В ее основе лежат соотношения на R-матрицы и К-матрицы (решения уравнения отражения). Эти соотношения являются аналогом ассоциативного уравнения Янга-Бакстера в BC случае. В качестве приложения, будет описана новая эллиптическая анизотропная спиновая цепочка с дальнодействием
Стохастический лапласовский рост является важным примером нелокальной динамики кривых на плоскости, встречающейся в гидродинамике, комплексном анализе и теории вероятностей. В этом докладе рассматривается стохастический лапласовский рост с точки зрения моделей нормальных случайных матриц, что позволяет предложить новую статистическую интерпретацию динамики границы. Мы показываем, что статистическая сумма системы является тау-функцией бездисперсионной иерархии Тоды, а флуктуации вокруг классической динамики обладают универсальными статистическими свойствами, независимыми от начальной формы области. Эта работа связывает между собой детерминированным лапласовский рост и стохастические процессы, предлагая новый взгляд на нерешенные проблемы. Установленная связь статистики флуктуаций с круговым ансамблем Дайсона (CUE), который также возникает при изучении дзета-функции Римана, подчеркивает неожиданные междисциплинарные взаимосвязи
Комплексно-аналитический подход к ренормализации, предложенный Дуади и Хаббардом 1985, опирается на понятие полиномиально-подобного отображения. Мы обсудим это понятие – одно из центральных в комплексной динамике – и некоторые его приложения, в том числе относительно недавние
Мы изучаем возмущенные минимальные модели и поток из одной минимальной модели в другую (из модели M(3,10) в модель M(3,8)), вызванный некоторым возмущением. Мы рассмотрим минимальные модели, возмущенные своими примарными полями. Коротко поговорим о релевантных и иррелевантных операторах, конформной теории возмущений и увидим, что она сходится не для всех релевантных операторов. В связи с этим численное изучение потока из одной модели в другую связано с некоторыми трудностями, одно из возможных решений которых мы разберем. А именно, поговорим об эффективных гамильтонианах и их перенормировке
Число Милнора особенности комплексной гиперповерхности – это то, на сколько меняется Эйлерова характеристика при возникновении данной особенности. Многогранником Ньютона многочлена называется выпуклая оболочка показателей его ненулевых мономов. Знаменитая теорема Кушниренко вычисляет число Милнора особенности в терминах многогранника Ньютона, если коэффициенты общего положения. Соответствующее функция многогранника называется числом Ньютона. Задача Арнольда о монотонности состоит в том, чтобы исследовать монотонность числа Ньютона при увеличении многогранника. Я расскажу о своих результатах в этом направлении (arXiv:2006.11795) и о связи этой задачи со следующими классическими гипотезами. Гипотеза о монодромии связывает подсчет числа решений полиномиального уравнения по модулю p^m с геометрий его особенностей. Гипотеза Ле-Рамануджама утверждает, что топология особенности не меняется внутри страта mu = const. Примечательно, что с помощью теоремы Кушниренко Хо доказал унимодальность коэффициентов хроматического полинома любого графа
В докладе будет описан подход к изучению полиномиальных решений дифференциальных уравнений с регулярными особенностями, основанный на теории представлений, связанной с квантовой моделью Годена. Акцент будет сделан на уравнениях второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками, известных как уравнения Гойна. Их полиномиальные решения можно получать как собственные векторы трехточечной sl_2 модели Годена. Будет рассказано о том, как с помощью квантового разделения переменных в модели Годена и анализа представлений некоторых квадратичных алгебр вывести интересные гипергеометрические выражения для многочленов Гойна
Мы изучаем пространства модулей PGLn оснащенных локальных систем на диске с проколом и двумя выделенными точками на границе. Известно, что в случае общего положения такие пространства модулей являются кластерными многообразиями. С помощью гамильтоновой редукции мы определяем кластерную структуру в случае, когда на монодромию вокруг прокола накладываются специальные условия. Эту конструкцию можно применить в теории представлений квантовых групп
Пара из квазиоднородного многочлена с изолированной особенностью в нуле и его группы симметрии называется орбифолдом Ландау-Гинзбурга. Изучение этих объектов было начато в начале 90’ физиками для целей математической физики, и было продолжено математиками.
Мы обсудим какие структуры, связанные с орбифолдами Ландау-Гинзбурга, возникают в контексте зеркальной симметрии, а также каким образом можно строить «эквивалентные» пары для упрощения (а в некоторых случая – и для определения) этих структурфа