Спецкурс // Современные задачи спектральной геометрии // март – апрель 2017г.

Спецкурс организован совместно
Независимым московским университетом и Междисциплинарным научным центром Понселе (UMI 2615),

читается в Независимом московском университете
(Москва, Большой Власьевский пер., дом 11)
в марте – апреле 2017г.

по понедельникам (27 марта, 3, 10, 17 апреля) в ауд.304
по средам (29 марта, 5, 12, 19 апреля) в ауд.310
по пятницам (31 марта, 7, 14, 21 апреля) в ауд.310

Начало в 17:30

Предварительная программа курса

I. Иосиф Викторович Полтерович (Univ. de Montréal)
( 27, 29, 31 марта и 3 апреля )

Спектральная геометрия задачи Стеклова

  • Постановка задачи Стеклова. Основные свойства собственных значений и собственных функций. Изопериметрические оценки для собственных значений.
  • Асимптотические свойства собственных значений задачи Стеклова на многообразиях с границей. Спектральные инварианты. Спектральная жёсткость диска и трехмерного шара. Примеры изоспектральных многообразий.
  • Задача Стеклова на областях с особенностями. Влияние углов на спектральные асимптотики. Приложения к гидродинамике. Асимптотика собственных значений задачи о колебании жидкости в двумерии

II. Герасим Юрьевич Кокарев (Univ. of Leeds)
( 5 и 7 апреля )

  1. Минимальные подмногообразия и задачи на собственные значения
    1.1. Предварительные сведения об операторе Лапласа-Бельтрами на многообразиях.
    1.2. Минимальные подмногообразия в пространствах постоянной кривизны. Дифференциальные уравнения, описывающие минимальные погружения.
    1.3. Приложения к геометрии минимальных подмногообразий.
    1.4. Связь с задачей об оптимизации собственных значений.
  2. Неравенства на собственные значения на минимальных подмногообразиях
    2.1. Конформный объем и первое собственное значение. Оценки на высшие собственные числа.
    2.2. Минимальные подмногообразия в гиперболических пространствах, асимптотический объём и оценки на собственные числа.
    2.3. Минимальные подмногообразия в евклидовых пространствах. Конечная полная кривизна, концы минимальных подмногообразий и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами. Обобщенная гипотеза Пойя.


III. Вадим Юрьевич Калошин (Univ. of Maryland)
( 10, 12 и 14 апреля )

  • Можно ли услышать форму барабана? Спектр оператора Лапласа и спектр длин, волновой след и их отношения.
  • Бильярды в выпуклых плоских областях, каустики, бильярдные отображения, множества Обри-Мэзера.
  • Подковы и хаос для бильярдных отображений.
  • Интегрируемые бильярдные отображения, теорема Понселе.
  • Возмущение эллипсов и рациональная интегрируемость.
  • Спектральная жесткость для плоских бильярдов.

IV. Алексей Викторович Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, ISCP)
( 17, 19 и 21 апреля )

  • Оценки на кратности собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами и экстремальные метрики.
  • Геометрическая оптимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере и проективной плоскости.