stimart7_1ru

| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | АННОТАЦИИ КУРСОВ |

7-ая зимняя школа-конференция
“Теория струн, интегрируемые модели и теория представлений”
17-22 января 2022 г. / Zoom

  • АЛЕКСАНДР БЕЛАВИН / ИТФ ИМ. Л.Д.ЛАНДАУ, ИППИ, МФТИ //
    СЕРГЕЙ ПАРХОМЕНКО / ИТФ ИМ. Л.Д.ЛАНДАУ, МФТИ //
    ТЕОРИЯ СУПЕРСТРУН, КОМПАКТИФИКАЦИЯ И МОДЕЛИ N=2 СУПЕРКОНФОРМНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
      • Принятая ныне теория, описывающая физику элементарных частиц, т.н. Стандартная Модель (SM), представляет собой модель релятивистской квантовой теории поля, обладающей локальной калибровочной симметрией, чья алгебра Ли G=SU(3)xSU(2)xU(1). Три поколения фундаментальных частиц материи (кварков и лептонов) взаимодействуют, обмениваясь между собой квантами калибровочных полей (фотонами, глюонами, a также W-Z бозонами). SM описывает сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия этих частиц и прекрасно подтверждена экспериментальными наблюдениями. Эта теория также является замечательным образом теоретически самосогласованной…

      Тем не менее SM не рассматривается теоретиками как окончательный вариант модели микромира, поскольку остается нерешенной проблема включения в теорию гравитации. Этот недостаток существующей теории микромира представляется неустранимым, если не отказаться от одного из главных ее предположений о том, что фундаментальный объект является нульмерным, то есть частицей, как кварк, лептон или глюон. Оказывается, что включить в теорию непротиворечивым образом гравитацию удается, если заменить нульмерный объект на одномерный. Частицу – на струну. Таким образом возникает теория суперструн.

      При этом самосогласованность теории суперструн требует, чтобы размерность Пространства-Времени равнялась 10. Отсюда возникает необходимость в компактификации 6 из 10 измерений. Причем, с одной стороны, необходимо при этом сохранить суперсимметрию, а с другой, не сделать ее слишком большой.
      Последнее приводит к требованию, чтобы 6-мерное подпространство, на которое происходит компактификация было многообразием Калаби-Яу. Как бесплатный бонус при этом появляется, в частности, возможность объяснить чему равно число поколений кварков и лептонов. Оно равно половине характеристике Эйлера компактного подпространства. Таким образом возникает задача о построении моделей суперструн, получающихся в результате такой компактификации.
      Точное решение этой задачи достигается с использованием явного построения N=2 Супер Конформных моделей с центральным зарядом c=9. Такие орбифолды играют роль дуального и, одновременно, явного описания модели суперструны, возникающей при компактификации на соответствующее ей многообразие Калаби-Яу.
      Об этом и пойдет речь на наших лекциях.

    Примерный план курса из 4-х лекций:

    1. Вводная. Теория великого объединения и теория суперструн…
    2. N=2 Суперконформная теория поля, общие предварительные сведения (спектральный поток и т.п.)
      Минимальные модели N=2 суперконформной теории поля
    3. Конструкция N=2 орбифолдов суперконформной теории поля. Зеркальная симметрия
    4. Модулярно-инвариантные статсуммы N=2 орбифолдов суперконформной теории поля

  • МАКСИМ КАЗАРЯН / ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ УНИВ. ВШЭ, СКОЛТЕХ //
    ЧИСЛА ГУРВИЦА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ

      Числа Гурвица (в их наиболее классическом варианте) перечисляют разложения перестановок в произведение транспозиций. Производящий ряд, составленный из этих чисел, обладает огромным количеством интегрируемых свойств, таких, как иерархия КП, уравнения Вирасоро и топологическая рекурсия.
      Являясь сравнительно простым комбинаторным объектом, они оказываются связанными с большим количеством областей математики и математической физики, включая теорию представлений, теорию пространств модулей, теорию иерархии КП и бозон-фермионное соответствие, матричные интегралы и другие. Тем самым, они служат сравнительно простой, но достаточно богатой моделью для изучения интегрируемых свойств функций, встречающихся в других смежных задачах комбинаторики и математической физики

    Примерная программа (заведомо избыточная):

    1. Разложения в группе перестановок, групповая алгебра симметрической группы и ее центр, формула характеров, элементы Юциса-Мерфи
    2. Элементы теории иерархии КП: бозон-фермионное соответствие, грассманиан Сато, операторный формализм, тау-функции гипергеометрического типа
    3. Теория пересечений на пространствах модуей, формула ELSV, полиномиальность перенормированных чисел Гурвица, связь с потенциалом Виттена-Концевича
    4. Топологическая рекурсия: спектральная кривая, корреляционные дифференциалы, петлевые уравнения


    Литература:
    Во многом курс будет следовать следующим запискам лекций, в которых содержится также некоторое количество различных упражнений для семинара, а также ссылки для дальнейшего изучения предмета

    Дополнительная литература:

    1. Казарян М. Э., Ландо С. К., Комбинаторные решения интегрируемых иерархий // Успехи математических наук. 2015. Т. 70. № 3. С. 70-106 [ PDF: English, arXiv: 1512.07172 ]
    2. Т. Мива, М. Джимбо, Э. Датэ, Солитоны. Дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры, М., МЦНМО, 2005
    3. Bychkov B., Dunin-Barkowski P., Kazaryan M., Shadrin S. Explicit closed algebraic formulas for Orlov-Scherbin n-point functions [ PDF: English, arXiv: 2008.13123 ]
    4. Bychkov B., Dunin-Barkowski P., Kazaryan M., Shadrin S., Topological recursion for Kadomtsev-Petviashvili tau functions of hypergeometric type [ PDF: English, arXiv: 2012.14723 ]

  • ВИТАЛИЙ ТАРАСОВ / ПОМИ, IUPUI //
    УРАВНЕНИЯ КНИЖНИКА-ЗАМОЛОДЧИКОВА, ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, (gl_k,gl_n) ДВОЙСТВЕННОСТЬ И АНЗАТЦ БЕТЕ

    Основные темы лекций / литература

    1. Рациональные уравнения Книжника-Замолодчикова и динамические уравнения
      • G.Felder, Y.Markov, V.Tarasov, A.Varchenko / Differential equations compatible with KZ equations / Math. Phys., Analysis and Geometry 3 (2000) no.2 139-177
    2. Тригонометрические уравнения Книжника-Замолодчикова и рациональные разностные динамические уравнения
      • V.Tarasov, A.Varchenko / Difference equations compatible with trigonometric KZ differential equations / Int. Math. Research Notices (2000) no.15, 801-829
    3. Рациональные разностные (квантованные) уравнения Книжника-Замолодчикова и тригонометрические дифференциальные динамические уравнения
      • V.Tarasov, A.Varchenko / Dynamical differential equations compatible with rational qKZ equations / Lett. Math. Phys. 71 (2005) no.2, 101-108
    4. (gl_k,gl_n) двойственность для уравнений Книжника-Замолодчикова и динамических уравнений
      • V.Tarasov, A.Varchenko / Duality for Knizhnik-Zamolodchikov and dynamical equations /
        Acta Applicandae Mathematicae 73 (2002) no.1-2, 141–154
      • V.Tarasov, F.Uvarov / Duality for Knizhnik-Zamolodchikov and dynamical operators / SIGMA 16 (2020) 035, 1–10
    5. (gl_k,gl_n) двойственность для интегрируемых моделей и биспектральная двойственность для дифференциальных/разностных операторов
      • E.Mukhin, V.Tarasov, A.Varchenko / Bispectral and (gl_N, gl_M) dualities / Func. Anal. Other Math. 1 (2006) no.1 47–69
      • E.Mukhin, V.Tarasov, A.Varchenko / Bispectral and (gl_N, gl_M) dualities, discrete versus differential / Advances in Math. 218 (2008) no.1 216–265
    6. (gl_k,gl_n) двойственность для интегрируемых моделей и обращение дифференциальных операторов
      • V.Tarasov, F.Uvarov / Duality for Bethe algebras acting on polynomials in anticommuting variables / Lett. Math. Phys. 110 (2020) no.12 3375–3400

Контактный адрес оргкомитета
MathPhysSchool@gmail.com

2024 © Skoltech