stimart19

| ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ | АННОТАЦИИ КУРСОВ |

4-ая зимняя школа-конференция “Теория струн, интегрируемые модели и теория представлений” / Москва / 20-26 января 2019 г.

  • АЛЕКСЕЙ БУФЕТОВ //
    СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ВЕРШИННЫЕ МОДЕЛИ /

    1. Шестивершинная модель. Стохастические параметры шестивершинной модели. Предельное поведение стохастической шестивершинной модели: формулировки. Следствия для взаимодействующих систем частиц (TASEP, ASEP)
    2. Симметрические функции Шура, Холла-Литтлвуда и Макдональда. Их свойства
    3. Уравнение Янга-Бакстера для шестивершинной модели. Связь свойств функций Холла-Литтлвуда (комбинаторная формула, тождество Коши) с уравнением Янга-Бакстера
    4. Вероятностные меры Холла-Литтлвуда. Их связь с стохастической шестивершинной моделью. Биективизация уравнения Янга-Бакстера
    5. Вывод (пунктирный) вероятностных результатов (пункт 1) из полученных взаимосвязей
      Пререквизиты
      Знание основ теории вероятностей, и чего-то про симметрические многочлены и уравнение Янга-Бакстера будет полезно, но совершенно не обязательно

      Литература / Базовые понятия

      1. 6-вершинная модель:
        В. Корепин, видеозапись лекции, 2018
      2. Уравнение Янга-Бакстера:
        Jacques H.H. Perk, Helen Au-Yang, “Yang-Baxter Equations” [ PDF: English, arXiv: math-ph/0606053 ]
      3. Симметрические функции:
        И. Макдональд, Симметрические функции и многочлены Холла, главы 1.1-1.5, 3.1-3.5, 6.1-6.4.


      Литература       / Недавние результаты

      1. Тождество Коши для функций Холла-Литтлвуда и уравнение Янга-Бакстера:
        Alexei Borodin, “On a family of symmetric rational functions” [ PDF: English, arXiv: 1410.0976 ] главы 2,3,4
      2. Связь симметрических функций и стохастической 6-вершинной модели; биективизация уранения Янга-Бакстера:
        Alexey Bufetov, Leonid Petrov, “Yang-Baxter field for spin Hall-Littlewood symmetric functions” [ PDF: English, arXiv: 1712.04584 ] главы 2-5
      3. Предельные теоремы для стохастической 6-вершинной модели:
        Alexei Borodin, Ivan Corwin, Vadim Gorin, “Stochastic six-vertex model” [ PDF: English, arXiv: 1407.6729 ] Alexei Borodin, “Stochastic higher spin six vertex model and Madconald measures” [ PDF: English, arXiv: 1608.01553 ]
  • МАКСИМ ЗАБЗИН //
    ВВЕДЕНИЕ В ЛОКАЛИЗАЦИЮ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ /
      • В этом мини-курсе я расскажу о локализации интеграла по путям для суперсимметричных калибровочных теорий. Это тогда когда квазиклассический результат становится точным. Первая часть курса будет посвящена конечномерным интегралам и доказательству теоремы Атьи-Ботта. Я объясню, как эта теорема связанна с суперсимметрией, и расскажу об основах супергеометрии (грассмановы/фермионные координаты, дифференцирование, интегрирование). Я рассмотрю в деталях несколько конечномерных примеров.
      Во второй половине курса я сконцентрируюсь на вычислениях в двумерной суперсимметричной теории Янга-Милса (и разных версиях этой теории) на двумерной сфере. Я объясню, как мы применяем теорему Атьи-Ботта в бесконечномерном примере. Моя цель – довести вычисления примера на двумерной сфере до конца (когда интеграл по путям становится конечномерным интегралом).
      Если время позволит, я расскажу о трехмерных примерах и опишу общую ситуацию в разных измерениях.

      Пререквизиты.
      Желательно предварительно знать: основы теории поля (в особенности функциональные методы, гауссовы интегралы для бозонных и фермионных полей), квантование калибровочных теорий методом интеграла по путям, БРСТ симметрию, основы дифференциальной геометрии (в особенности дифференциальные формы и действия групп на многообразиях), рудиментарные знания суперсиммет-
      рии также полезны.

      Литература

      1. J. Qiu, M. Zabzine, “Introduction to Graded Geometry, Batalin-Vilkovisky Formalism and their Applications”, Archivum Math. 47, 143 (2011) (только главы 2 и 3 для введения в супергеометрию) [ PDF: English, arXiv: 1105.2680 ]
      2. V. Pestun, M. Zabzine, “Introduction to localization in quantum field theory”, J. Phys. A 50, no. 44, 443001 (2017) (базовые вещи о локализации и доказательство теоремы Атьи-Ботта) [ PDF: English, arXiv: 1608.02953 ]
      3. F. Benini, B. Le Floch, “Supersymmetric localization in two dimensions”, J. Phys. A 50 (2017) no.44, 443003 (обзор о двумерных моделях, требует знание суперсимметрии в двумерии, мои лекции не будут предполагать хорошего знания суперсимметрии) [ PDF: English, arXiv: 1608.02955 ]
  • НИКИТА НЕКРАСОВ //
    ВВЕДЕНИЕ В ТОЧНЫЙ ИНСТАНТОННЫЙ УЧЕТ /
      • 1. Квазиклассические методы в квантовой механике. Геометрическое квантование, точные формулы. Формула Вейля для характера.
      2. Суперсимметричная квантовая механика и инстантоны. Теория Морса. Индекс Виттена. Твистованный индекс Виттена.
      3. Эквивариантные интегралы. Теорема об индексе и суперсимметрия. Двумерный Янг-Миллс. Дзета-функция Римана-Виттена. Теория Черна Саймонса и формула Верлинде.
      4. Четырехмерная калибровочная теория. Уравнения Янга Миллса и инстантоны. Инстантоны в сигма моделях.
      5. Пространства модулей инстантонов. Конструкция АДХМ. Компактификации пространств модулей в двумерии и в четырехмерии. Некоммутативные теории поля. Схемы Гильберта.
      6.* N=2 суперсимметрия в четырехмерии и эквивариантные когомологии. Omega-деформация. Локализация.
      7.* Неподвижные точки. Касательный комплекс. Инстантонная статсумма.
      8.* Примеры суперсимметричных статсумм (колчанные теории, двумерные сигма модели, J-функции Гивенталя…)
      9.* BPS/CFT соответствие. Примеры. Приложения (Blowup formulas).
      10.* Квазиклассические пределы (ε1, ε2 → 0). Интегрируемость: классическая и квантовая
      11.* Топологические струны. Инварианты Громова Виттена. Геометрическое строение квантовых теорий поля. Связь между калибровочными и струнными статсуммами. GW/DT-correspondence.
      12.* Многомерные теории. Исчисление многомерных разбиений.

      Литература

      1. A. Okounkov, “Takagi lectures on Donaldson-Thomas theory” [ PDF: English, arXiv: 1802.00779 ]
      2. A. Okounkov, R. Pandharipande, “Gromov-Witten theory, Hurwitz theory, and completed cycles” [ PDF: English, arXiv: math/0204305 ]
      3. S. Cordes, G. Moore, S. Ramgoolam, “Lectures on 2D Yang-Mills Theory, Equivariant Cohomology and Topological Field Theories” [ PDF: English, arXiv: hep-th/9411210 ]
      4. N. Seiberg, E. Witten, “Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N=2 Supersymmetric QCD” [ PDF: English, arXiv: /hep-th/9408099 ]
      5. N. Seiberg, E. Witten, “Monopole Condensation, And Confinement In N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory” [ PDF: English, arXiv: /hep-th/9407087 ]
      6. M. Kontsevich, “Enumeration of rational curves via torus actions” [ PDF: English, arXiv: /hep-th/9405035 ]
      7. N. Nekrasov, A. Okounkov, “Seiberg-Witten Theory and Random Partitions” [ PDF: English, arXiv: /hep-th/0306238 ]
      8. M. Douglas, N. Nekrasov, “Noncommutative Field Theory” [ PDF: English, arXiv: /hep-th/0106048 ]
  • ШАМИЛЬ ШАКИРОВ //
    ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ: ТОПОЛОГИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ /
      • Основная идея в том, что сплетающие операторы в теории представлений можно рассматривать как семейство спецфункций, которые, с одной стороны, элементарно и просто определить, а с другой стороны от них один шаг до целого набора интересных тем в современной матфизике: они дают инварианты в топологии, являются собственными функциями многочастичных интегрируемых систем, и статсуммами физических моделей (в полной общности – калибровочных теорий в 4-5-6d, но до этого уровня я не доберусь).

      План лекций

      1. sl(2) Finite-dimensional representation theory, intertwiners, Clebsch-Gordan tensor, Racah-Wigner coefficients, pentagon equation
      2. Quantum sl(2) I. All the same + Turaev-Viro 3-manifold invariant
      3. Quantum sl(2) II. R-matrix, its properties, Jones knot invariant
      4. Quantum sl(N). Finite-dimensional representation theory, multiplicities, HOMFLY knot invariant
      5. Special functions. Jack/Macdonald polynomials, integrability and generalizations


      Литература

      1. A. Kirillov and N. Reshetikhin, “Representations of the algebra U_q(sl2), q-orthogonal polynomials and invariants of links”, [ math.berkeley.edu/~reshetik/Publications/q6j-KR.pdf ]
      2. V. G. Turaev, “Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds”, Berlin, NewYork, 1994
      3. A. Mironov, A. Morozov, An. Morozov and A. Sleptsov, “Colored knot polynomials. HOMFLY in representation [2,1]” [ PDF: English, arXiv: 1508.02870 ]
      4. P. Etingof and A. Kirillov-Jr., “Macdonald’s polynomials and representations of quantum groups”, [ PDF: English, arXiv: hep-th/9312103 ] “A unified representation-theoretic approach to special functions” [ PDF: English, arXiv: hep-th/9312101 ]

Контактный адрес оргкомитета
MathPhysSchool@gmail.com

2024 © Skoltech